2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.2 诱导公式（二）讲义 新人教A版必

1第2课时诱导公式(二)知识点诱导公式五、六状元随笔(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．[教材解难]准确记忆六组诱导公式(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．(2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．[基础自测]1．化简：sin20172π＋x＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx解析：sin20172π＋x＝sin1008π＋π2＋x＝sinπ2＋x＝cosx答案：B22．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由于sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.答案：B3．已知sinθ＝15，则cos(450°＋θ)的值是()A.15B．－15C．－265D.265解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－15.答案：B4．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：0题型一利用诱导公式求值[教材P193例5]例1已知sin(53°－α)＝15，且－270°α－90°，求sin(37°＋α)的值．解析：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β.于是sinγ＝sin(90°－β)＝cosβ.因为－270°α－90°，所以143°β323°.由sinβ＝150，得143°β180°.所以cosβ＝－1－sin2β＝－1－152＝－265，所以sin(37°＋α)＝sinγ＝－265.注意到(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，如果设β＝53°－α，γ＝37°＋α，3那么β＋γ＝90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．教材反思利用诱导公式五、六求值的三个关注点(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如π4±α，π6＋α与π3－α的关系．跟踪训练1若cos(π＋α)＝－105，且α∈－π2，0，则tan3π2＋α＝________.解析：因为cos(π＋α)＝－105，所以cosα＝105，因为α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－155，所以tan3π2＋α＝tanπ＋π2＋α＝tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝105155＝1015＝63.答案：63由cos(π＋α)可求出cosα，进而可求sinα，tan3π2＋α可化为sinα，cosα的关系．题型二利用诱导公式证明恒等式[经典例题]例2求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2π＋θ.【解析】证明：右边＝－2sin3π2－θ·－sinθ－11－2sin2θ4＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立.等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.跟踪训练2求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.解析：证明：左边＝cosπ2－αsinπ2＋α·[－sin(2π－α)]cosα＝sinαcosα[－(－sinα)]cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立．等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．题型三诱导公式的综合应用[经典例题]例3已知f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋3π2cos－π－αsin－π－α.(1)化简f(α)．(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值．5(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋3π2cos－π－αsin－π－α＝－sinα·cosα·－cosα－cosαsinα＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝15，又cosα－3π2＝cosα＋π2＝－sinα，即sinα＝－15，而α是第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.(3)α＝－313π时，f(α)＝－cosα＝－cos－31π3＝－cos－10π－π3＝－cosπ3＝－12.首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．方法归纳用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Pa，35，求sinπ2＋α＋2sinπ2－α2cos3π2－α的值．解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Pa，35，所以a2＋925＝1(a0)，所以a＝－45，所以sinα＝35，cosα＝－45，6所以原式＝cosα＋2cosα－2sinα＝－32·cosαsinα＝－32×－4535＝2.首先注意α的范围．求出a的范围与值再利用诱导公式求值．课时作业32一、选择题1．如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A等于()A．－12B.12C．－32D.32解析：cos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12.答案：B2．下列式子与sinθ－π2相等的是()A．sinπ2＋θB．cosπ2＋θC．cos32π－θD．sin32π＋θ解析：因为sinθ－π2＝－sinπ2－θ＝－cosθ，对于A，sinπ2＋θ＝cosθ；对于B，cosπ2＋θ＝－sinθ；7对于C，cos3π2－θ＝cosπ＋π2－θ＝－cosπ2－θ＝－sinθ；对于D，sin3π2＋θ＝sinπ＋π2＋θ＝－sinπ2＋θ＝－cosθ.答案：D3．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2＋θ－sinπ－θ等于()A．2B．－2C．0D.23解析：sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2＋θ－sinπ－θ＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B4．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinCC．cosA＋C2＝sinBD．sinB＋C2＝cosA2解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，故A，B错；∵A＋C＝π－B，∴A＋C2＝π－B2，∴cosA＋C2＝cosπ2－B2＝sinB2，故C错；∵B＋C＝π－A，∴sinB＋C2＝sinπ2－A2＝cosA2，故D对．答案：D二、填空题5．若cosα＝－513，且α是第三象限角，则cosα＋5π2＝________.8解析：因为cosα＝－513，且α是第三象限角，所以sinα＝－1213，cosα＋5π2＝cosα＋π2＝－sinα＝1213.答案：12136．求tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝________.解析：原式＝tan－α－sinαcos－α－cosα·sinα＝－tanα－sinαcosα－cosα·sinα＝－tanα.答案：－tanα7．已知cosα＝13，则sinα－π2·cos3π2＋αtan(π－α)＝________.解析：sinα－π2cos3π2＋αtan(π－α)＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α＝1－132＝89.答案：89三、解答题8．已知cosπ6－α＝23，求下列各式的值：(1)sinπ3＋α；(2)sinα－2π3解析：(1)sinπ3＋α＝sinπ2－π6－α＝cosπ6－α＝23.(2)sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－sinπ2＋π6－α9＝－cosπ6－α＝－23.9．化简：(1)cosα－πsinπ－α·sinα－π2cosπ2＋α；(2)sin(－α－5π)cosα－π2－sin3π2＋αcos(α－2π)．解析：(1)原式＝cos[－π－α]sinα·sin－π2－α(－sinα)＝cosπ－αsinα·－sinπ2－α(－sinα)＝－cosαsinα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos－π2－α＋cosαcos[－(2π－α)]＝sin[－(α＋π)]cosπ2－α＋cosαcos(2π－α)＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝1.[尖子生题库]10．在△ABC中，已知sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2，试判断△ABC的形状．解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又sinA＋