2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象讲义 新人教

15.4.3正切函数的性质与图象知识点函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域xx≠kπ＋π2，k∈Z值域R周期π奇偶性奇函数单调性在开区间kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z上都是增函数状元随笔如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指x＝－π2和x＝π2.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．[教材解难]1．教材P209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．2．教材P210思考可以先考察函数y＝tanx，x∈0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．2[基础自测]1．下列说法正确的是()A．y＝tanx是增函数B．y＝tanx在第一象限是增函数C．y＝tanx在某一区间上是减函数D．y＝tanx在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确．答案：D2．函数y＝tanx＋π4的定义域是()A.xx≠－π4B.xx≠π4C.xx≠kπ－π4，k∈ZD.xx≠kπ＋π4，k∈Z解析：由x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ＋π4，k∈Z.答案：D3．已知函数f(x)＝tan2x＋π3，则函数f(x)的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：解法一函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝π|ω|，可得T＝π|2|＝π2.解法二由诱导公式可得tan2x＋π3＝tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π2＋π3，所以fx＋π2＝f(x)，所以周期为T＝π2.答案：B4．比较大小：tan135°________tan138°.(填“＞”或“＜”)解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tanx在区间(90°，270°)上是3增函数，所以tan135°＜tan138°.答案：＜题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝11＋tanx；(2)y＝lg(3－tanx)．【解析】(1)要使函数y＝11＋tanx有意义，需使1＋tanx≠0，x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域为{xx∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.(2)要使y＝lg(3－tanx)有意义，需使3－tanx0x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域是xkπ－π2xkπ＋π3，k∈Z.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠kπ＋π2k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1(1)函数y＝1tanx的定义域为()A.{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}4C.xx≠kπ＋π2，k∈ZD.xx≠kπ2，k∈Z(2)求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．解析：(1)函数y＝1tanx有意义时，需使tanx≠0x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域为{x{x≠kπ＋π2，且x≠kπ，k∈Z}＝{x{x≠kπ2，k∈Z}.(2)由题意得tanx＋1≥0，1－tanx0，即－1≤tanx1.在－π2，π2内，满足上述不等式的x的取值范围是－π4，π4.又y＝tanx的周期为π，所以所求函数的定义域是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．答案：(1)D(2)见解析(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0(3)真数大于0(4)正切函数x≠kπ＋π2，k∈Z题型二正切函数的单调性及其应用例2求函数y＝tan－3x＋π4的单调区间．【解析】y＝tan－3x＋π4＝－tan3x－π4.由－π2＋kπ3x－π4π2＋kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ3xπ4＋kπ3(k∈Z)．所以函数y＝tan－3x＋π4的单调递减区间为（－π12＋kπ3，π4＋kπ3）(k∈Z)．状元随笔先利用诱导公式将函数转化为y＝－tan3x－π4，再由－π2＋kπ3x－π4π2＋kπ(k∈Z)解出x即可.方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法5①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2ωx＋φkπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．②若ω0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．跟踪训练2本例(2)函数变为y＝tan－12x＋π4，求该函数的单调区间．解析：y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，由kπ－π212x－π4kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－π2x2kπ＋32π，k∈Z，所以函数y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是（2kπ－π2，2kπ＋32π），k∈Z.题型三正切函数图象与性质的综合应用[教材P212例6]例3求函数y＝tanπ2x＋π3的定义域、周期及单调区间．【解析】自变量x的取值应满足π2x＋π3≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠2k＋13，k∈Z.所以，函数的定义域是x|x≠2k＋13，k∈Z.设z＝π2x＋π3，又tan(z＋π)＝tanz，所以tanπ2x＋π3＋π＝tanπ2x＋π3，即tanπ2x＋2＋π3＝tanπ2x＋π3.因为∀x∈{x|x≠2k＋13，k∈Z}都有6tanπ2x＋2＋π3＝tanπ2x＋π3，所以，函数的周期为2.由－π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z解得－53＋2k＜x＜13＋2k，k∈Z.因此，函数在区间－53＋2k，13＋2k，k∈Z上单调递增.利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．教材反思解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是kπ2，0(k∈Z)，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3设函数f(x)＝tanx2－π3.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．解析：(1)由x2－π3≠π2＋kπ(k∈Z)．得x≠5π3＋2kπ(k∈Z)．所以f(x)的定义域是{xx≠5π3＋2kπ，k∈Z}因为ω＝12，所以最小正周期T＝πω＝π12＝2π.由－π2＋kπx2－π3π2＋kπ(k∈Z)，得－π3＋2kπx5π3＋2kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间是－π3＋2kπ，5π3＋2kπ(k∈Z)．由x2－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ＋23π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是7kπ＋23π，0，k∈Z.(2)由－1≤tanx2－π3≤3，得－π4＋kπ≤x2－π3≤π3＋kπ(k∈Z)，解得π6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ(k∈Z)．所以不等式－1≤f(x)≤3的解集是{xπ6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈Z}.由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点．由tanx2－π3的范围确定x2－π3的范围是本题的难点．思想方法与三角函数相关的函数零点问题例当x∈－32π，32π时，确定方程tanx－sinx＝0的根的个数．【分析】tanx－sinx＝0的根即为tanx＝sinx的根，也就是y＝tanx与y＝sinx交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．【解析】在同一平面直角坐标系内画出y＝tanx与y＝sinx在－3π2，3π2上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．【点评】数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．课时作业36一、选择题81．函数f(x)＝tan－4x＋π6的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：方法一函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝π|ω|，直接利用公式，可得T＝π|－4|＝π4.方法二由诱导公式可得tan－4x＋π6＝tan－4x＋π6－π＝tan－4x＋π4＋π6，所以fx＋π4＝f(x)，所以周期T＝π4.答案：A2．函数y＝1tanx(－π4xπ4)的值域是()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，＋∞)解析：∵－π4xπ4，∴－1tanx1，∴1tanx∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．已知a＝tan2，b＝tan3，c＝tan5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是()A．abcB．abcC．bacD．bac解析：tan5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在π2，π上为增函数且π325－ππ2可得tan3tan2tan(5－π)．答案：C4．函数y＝3tan2x的对称中心为()A.kπ2，0(k∈Z)B.kπ4，0(k∈Z)C.kπ2＋π4，0(k∈Z)D.()kπ，0(k∈Z)解析：令2x＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ4(k∈Z)，则函数y＝3tan2x的对称中心为kπ4，09(k∈Z)，故选B.答案：B二、填空题5．函数y＝tanπ4＋6x的定义域为________．解析：由π4＋6x≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ6＋π24(k∈Z)．答案：xx≠kπ6＋π24，k∈Z6．函数y＝3tan(π＋x)，－π4x≤π6的值域为________．解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tanx，因为正切函数在－π2，π2上是增函数，所以－3y≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]7．函数y＝tan2x－π4的最小正周期为________，图象的对称中心为________．解析：最小正周期T＝π2；由kπ2＝2x－π4(k∈Z)得x＝kπ4＋π8(k∈Z)．∴对称中心为kπ4＋π8，0(k∈Z)．答案：π2；kπ4＋π8，0(k∈Z)三、解答题8．求函数y＝tan12x－π6的定义域、周期及单调区间．解析：由12x－π6≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠4π3＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝tan12x－π6的定义域为xx≠4π3＋2kπ，k∈Z，T＝π12＝2π，所以函数y＝tan