2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系讲义 新人

11.2集合间的基本关系最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A状元随笔“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.知识点二集合相等文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.状元随笔1.若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三真子集文字语言：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(propersubset)．符号语言：AB(或BA)．状元随笔在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点四空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点五子集的性质1．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.22．对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.[教材解难]教材P8思考{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．[基础自测]1．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．集合{0,1}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x0}，则下列各式正确的是()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x0}＝{x|x－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.答案：13题型一集合间关系的判断[经典例题]例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.【答案】(1)B(2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；4若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()A．MTB．MTC．M＝TD．MT(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A(2)见解析状元随笔(2)学习完知识点后，我们可以得到B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆B，D⊆C.题型二子集、真子集及个数问题[教材P8例1、2]例2(1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．(2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：①A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；②A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【解析】(1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．(2)①因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．②因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．状元随笔(1)题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．(2)题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.教材反思1．求集合子集、真子集个数的三个步骤52．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.跟踪训练2(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0x5}，则满足条件ACB的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为()A．－2B．4C．0D．以上答案都不是解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.答案：(1)B(2)C状元随笔(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据ACB确定集合C.(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．题型三根据集合的包含关系求参数[经典例题]例3已知集合A＝{x|1ax2}，B＝{x|－1x1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，①A＝∅，满足A⊆B.(2)当a0时，A＝x1ax2a.6又∵B＝{x|－1x1}，且A⊆B，∴1a≥－1，2a≤1.②∴a≥2.(3)当a0时，A＝x2ax1a.③∵A⊆B，∴2a≥－1，1a≤1.∴a≤－2.综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}．状元随笔①欲解不等式1ax2，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a0，a0进行讨论．②A⊆B用数轴表示如图所示：(a＞0时)由图易知，1a和2a需在－1与1之间．当1a＝－1，或2a＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a＝1时，A＝x12x1，x取不到1.③a0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练3设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系．7(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝15时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝1a，由B⊆A得1a＝3或1a＝5，所以a＝13或a＝15.综上所述，实数a的取值集合为0，13，15状元随笔(1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝15时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．①B＝∅，此时a＝0；②B≠∅，此时a≠0.易错点忽略空集的特殊性致误例设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．【错解】由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝{－1}或{3}．当N＝{－1}时，由1a＝－1，得a＝－1.当N＝{3}时，由1a＝3，得a＝13.故满足条件的a的取值集合为－1，13.【正解】由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.当N＝{－1}时，由1a＝－1，得a＝－1.当N＝{3}时，由1a＝3，得a＝13.故满足条件的a的取值集合为－1，0，13.【易错警示】8错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业2一、选择题1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是()解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.答案：B2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是()A．1B．－1C．±1D．0解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.答案：C3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2B．4C．6D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B4．设A＝{x|2x3}，B＝{x|xm}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m3B．m≥3C．m3D．m≤3解析：因为A＝{x|2x3}，B＝{x|xm}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.答案：B9二、填空题5．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3mxm}；(4){x|a＋2xa}；(5){x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m0时，m3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：(4)(5)6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．