2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定

-1-4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学习目标核心素养1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)2．掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)3．理解周期函数的定义．(难点)1.通过学习任意角的正弦、余弦的定义及周期函数的定义，培养数学抽象素养．2．通过正弦、余弦定义的应用及同角的正弦、余弦函数值间的关系，提升数学运算素养.1．任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：正弦函数余弦函数定义点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α通常表示法y＝sinx，定义域为全体实数集，值域为[－1,1]y＝cosx，定义域为全体实数集，值域为[－1,1]在各象限的符号思考1：对于任意角α，sinα，cosα都有意义吗？[提示]由三角函数的定义可知，对于任意角α，sinα，cosα都有意义．2．周期函数(1)终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．-2-①终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋2kπ)＝sin_x(k∈Z)．②终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)．(2)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．思考2：由sin(x＋k·2π)＝sinx(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？[提示]2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sinα等于()A.34B.43C.45D.35C[∵r＝32＋42＝5，∴sinα＝45.]2．已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6D[由题意知，角α的终边上一点的坐标为32，－12.∴cosα＝32322＋－122＝32.又α的终边在第四象限．∴α的最小正值为11π6.]3．已知sinθ·cosθ0，那么角θ是()A．第一或第二象限角-3-B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角D[∵sinθ·cosθ0，∴sinθ0，cosθ0或sinθ0，cosθ0.∴θ在第二象限或第四象限．]4．若函数f(x)是以π2为周期的周期函数，且fπ3＝1，则f17π6的值是()A．1B．－1C．±1D．无法确定A[f17π6＝f2π＋π2＋π3＝fπ3＝1.]正弦、余弦函数的定义【例1】已知角α的终边在射线y＝2x(x0)上，求角α的正弦值和余弦值．[解]法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝2x(x0)．又因为x2＋y2＝1，所以x＝55，y＝255，于是sinα＝y＝255，cosα＝x＝55.法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x0)，则OP＝x2＋y2＝x2＋4x2＝5|x|，又因为x0，所以OP＝5x.所以sinα＝y5x＝255，cosα＝x5x＝55.求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点Pu，v，则v＝sinα，u＝cosα.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px，y是角α的终边上任意一点，P到原点的距离r＝|OP|＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr.-4-1．若点P(2m，－3m)(m0)在角α的终边上，则sinα＝________.31313[如图，点P(2m，－3m)(m0)在第二象限，且r＝－13m，故有sinα＝－3mr＝－3m－13m＝31313.]判断三角函数值的符号【例2】(1)判断sin340°cos265°的符号；(2)若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限．[解](1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，所以sin340°＜0，cos265°＜0.所以sin340°cos265°＞0.(2)因为sin2α＞0，所以2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＜α＜kπ＋π2(k∈Z)．当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，有2mπ＋π＜α＜2mπ＋3π2(m∈Z)．所以α为第一或第三象限角．又由cosα＜0，可知α为第三象限角．正、余弦函数符号的确定1终边在坐标轴上的角：终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为－1，0，故sinα＝0，cosα＝－2终边在各个象限内的角：利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终-5-边上点的横坐标，所以一、四象限为正.2．(1)判断sin2·cos3sin4·cos6的符号；(2)若sinα0，cosα0，判断角α所在象限．[解](1)∵2∈π2，π，3∈π2，π，4∈π，3π2，6∈3π2，2π，∴sin20，cos30，sin40，cos60，∴sin2·cos3sin4·cos60.(2)∵sinα0，∴α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上．∵cosα0，∴α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上．故当sinα0且cosα0时，α在第二象限．周期函数的定义及其应用[探究问题]1．30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？[提示]相等．2．终边相同的角的同名函数值相等吗？为什么？[提示]相等．因两角终边相同，其终边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知同名函数值相等．3．公式sin(2kπ＋x)＝sinx，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？[提示](1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．【例3】若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈0，π2时，f(x)＝2sinx，求f－133π＋f94π的值．[思路探究]利用周期函数及奇函数的定义将角转化到0，π2，再利用特殊角的三角函数求值．[解]∵f(x)是奇函数，-6-∴f(－x)＝－f(x)，又∵f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为π，∴f－133π＋f94π＝f－4π－π3＋f2π＋π4＝f－π3＋fπ4＝－fπ3＋fπ4＝－2sinπ3＋2sinπ4＝2－3.1．(变条件)在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f－13π3＋f9π4的值．[解]由f(x＋π)＝－f(x)知f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)，∴f(x＋2π)＝f(x)．知f(x)的周期为2π.∴f－13π3＋f9π4＝f－4π－π3＋f2π＋π4＝f－π3＋fπ4，又∵f(x)是奇函数，∴原式＝－2sinπ3＋2sinπ4＝2－3.2．(变条件、变结论)在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝1fx”，则函数f(x)的周期为________．2π[由f(x＋π)＝1fx得f[(x＋π)＋π]＝1fx＋π＝f(x)，∴f(x＋2π)＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2π.]3．(变条件)把例3中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f－13π3＋f9π4-7-的值．[解]∵f(x)是偶函数．∴f(－x)＝f(x)，又∵f(x－π)＝f(x＋π)．令x＝x＋π得f(x)＝f(x＋2π)，∴函数f(x)的周期为2π.∴f－13π3＋f9π4＝f－π3＋fπ4＝fπ3＋fπ4＝2sinπ3＋2sinπ4＝2＋3.常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式fx＋T＝fx外，还有如下四种形式：1fx＋a＝－fx.2fx＋a＝1fx3fx－a＝－1fx.4fx－a＝fx＋a以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．()(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．()(3)对正弦函数f(x)＝sinx有fπ4＋π2＝fπ4，所以π2是函数f(x)的周期．()(4)若f(x)是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f(1)．()-8-[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.1[f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.]3．使得lg(cosα·sinα)有意义的角α是第________象限角．一或三[要使原式有意义，必须cosα·sinα0，即需cosα与sinα同号，所以α是第一或第三象限角．]4．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．[解]因为x＝2，y＝－3，所以r＝22＋－32＝13.于是sinα＝yr＝－313＝－31313，cosα＝xr＝213＝21313，tanα＝yx＝－32.