2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系学案 北师大版必修4

-1-§1同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(重点)2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)1.通过学习同角三角函数基本关系式提升数学抽象素养．2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养.同角三角函数基本关系式(1)关系式①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；②商数关系：sinαcosα＝tan__α.(2)文字叙述同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．(3)变形形式①1＝sin2α＋cos2α；②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；③sinα＝±1－cos2α；cosα＝±1－sin2α；④sinα＝cosαtanα；⑤(sinα±cosα)2＝1±2sin_αcos__α.思考：sin230°＋cos245°等于1吗？sin90°cos90°有意义吗？[提示]不等于1，sin90°cos90°分母为0，无意义．1．已知sinα＝－45，α是第三象限角，则tanα等于()A．34B．－34C．43D．－43-2-C[因为sinα＝－45，且α是第三象限角．所以cosα＝－1－sin2α＝－35.所以tanα＝sinαcosα＝43.]2．已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________.－13[因为3sinα＋cosα＝0，所以cosα＝－3sinα，所以tanα＝sinαcosα＝sinα－3sinα＝－13.]3．已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5，则m＝________.0或8[由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.]4.tanx＋cosxsinxcos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD．cosxsinxD[原式＝sinxcosx＋cosxsinxcos2x＝sin2x＋cos2xsinxcosx·cos2x＝cosxsinx.]利用同角基本关系式求值【例1】已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．[解]∵cosα＝－8170，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得-3-sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解.1．已知tanα＝43且α为第三象限角，求sinα，cosα的值．[解]由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925，又α是第三象限角，∴cosα＝－35，sinα＝－45.利用sinα±cosα，sinα，cosα之间的关系求值【例2】已知0απ，sinα＋cosα＝15，求tanα的值．[解]由sinα＋cosα＝15，①得sinα·cosα＝－12250，又0απ，∴sinα0，cosα0，则sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1－2×－1225＝75，②由①②解得sinα＝45，cosα＝－35，-4-∴tanα＝sinαcosα＝－43.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，利用此关系求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，要注意判断它们的符号．2．sinαcosα＝18，且π4απ2，则cosα－sinα的值为()A．32B．－32C．34D．－34B[∵(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝±32.又π4απ2，sinαcosα，∴cosα－sinα＝－32.]利用同角三角函数关系化简、证明[探究问题]1．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？[提示]平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋π2(k∈Z)．2．证明三角恒等式常用哪些技巧？[提示]切弦互化，整体代换，“1”的代换．3．证明三角恒等式应遵循什么样的原则？[提示]由繁到简．【例3】(1)化简tanα·1sin2α－1，其中α是第二象限角；(2)求证：1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝tanα＋1tanα－1.-5-[思路探究](1)先确定sinα，cosα的符号，结合平方关系和商数关系化简．(2)逆用平方关系结合tanα＝sinαcosα化简．[解](1)因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0.故tanα·1sin2α－1＝tanα·1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.(2)证明：左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝sinα＋cosα2sin2α－cos2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝右边．所以原式成立．1．将例3(1)变为“cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°”，试对该式进行化简．[解]原式＝cos36°－sin236°sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1.2．将例3(2)变为试证“tanαsinαtanα－sinα＝1＋cosαsinα”．[证明]左边＝sin2αcosαsinαcosα－sinα＝sin2αsinα－sinαcosα＝1－cos2αsinα1－cosα＝1＋cosαsinα＝右边，所以等式成立．-6-1．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．证明三角恒等式常用的方法有：(1)从一边开始，证得它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin2α＋cos2β＝1.()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2.()(3)利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．()(4)若sinα＝12，则cosα＝32.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．若sinα＝45，且α是第二象限角，则tanα的值等于()-7-A．－43B．34C．±34D．±43A[α为第二象限角，sinα＝45，cosα＝－35，tanα＝－43.]3．已知角A是三角形的一个内角，sinA＋cosA＝23，则这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形B[∵sinA＋cosA＝23，∴1＋2sinAcosA＝49，∴sinAcosA＝－5180，又∵A∈(0，π)，sinA0，∴cosA0，A为钝角．故选B.]4．已知4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，求下列各式的值．(1)5cos2θsin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.[解]由已知4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，∴4tanθ－23tanθ＋5＝611，解得tanθ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tanθ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tanθ＋31＋tan2θ＝－15.-8-