2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.1.3 方程组的解集学案 新人教B版

-1-2.1.3方程组的解集学习目标核心素养1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为{(x,y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c为确定的实数．1．用代入法解方程组y＝1－xx－2y＝4时，代入正确的是()A．x－2－x＝4B．x－2－2x＝4C．x－2＋2x＝4D．x－2＋x＝4C[y＝1－x，①x－2y＝4，②把①代入②得，x－2(1－x)＝4，去括号得，x－2＋2x＝4.故选C.]2．已知二元一次方程组2x＋y＝7，x＋2y＝8，解集为()A．{(x，y)|(2,3)}B．{(x，y)|(3,2)}C．{(x，y)|(－2,3)}D．{(x，y)|(－2，－3)}A[2x＋y＝7，①x＋2y＝8，②①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}，故选A.]-2-3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝()A．{(x，y)|(1,4)}B．{(x，y)|(2,3)}C．{(x，y)|(3,2)}D．{(x，y)|(4,1)}C[根据题意，得x＋y＝5，2x－y＝4，由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}.]4．已知2x＋y＝7，x＋2y＝8，那么x－y的值是________．－1[两式相减可得结果x－y＝－1.]二元一次方程组的解集【例1】求下列方程组的解集．(1)x＋y＝4，①2x－3y＝3.②(2)3x－7y＝－1，①3x＋7y＝13.②[解](1)由①，得y＝4－x.③把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.解这个方程，得x＝3.把x＝3代入③，得y＝1.所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}．(2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2.把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}．法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1.把y＝1代入①得，3x－7×1＝－1，所以x＝2.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.-3-1．求下列方程组的解集．(1)4x＋8y＝12，①3x－2y＝5.②(2)8x＋9y＝73，①7x＋18y＝2.②[解](1)由②，得2y＝3x－5.③把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.把x＝2代入③，得y＝12.所以原方程组的解集为x，y2，12.(2)由①×2，得16x＋18y＝146，③由③－②，得9x＝144，解得x＝16.把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－559.所以原方程组的解集为x，y16，－559.三元一次方程组的解集【例2】求下列方程组的解集．(1)x＋y＋z＝12，①x＋2y＋5z＝22，②x＝4y.③(2)2x＋y＋3z＝11，①3x＋2y－2z＝11，②4x－3y－2z＝4.③[解](1)法一：将③分别代入①②，得5y＋z＝12，6y＋5z＝22，解得y＝2，z＝2，把y＝2代入③，得x＝8.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．法二：②－①，得y＋4z＝10，④②－③，得6y＋5z＝22，⑤-4-联立④⑤，得y＋4z＝10，6y＋5z＝22，解得y＝2，z＝2，把y＝2代入③，得x＝8.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④④－②，得4x＋3y＝38，⑤联立③⑤，得x＝4y，4x＋3y＝38，解得x＝8，y＝2，把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．(2)①×2－②，得x＋8z＝11，④①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤联立④⑤，得x＋8z＝11，10x＋7z＝37，解得x＝3，z＝1，把x＝3，z＝1代入①，得y＝2.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,2,1)}．求三元一次方程组解集的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.2．求方程组x＋y＝1，①y＋z＝6，②z＋x＝3③的解集．[解]①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，即x＋y＋z＝5.④④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1,2,4)}．待定系数法求函数的解析式【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．[思路点拨]把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入，就可以得-5-到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．[解]根据题意，得a－b＋c＝2，①4a＋2b＋c＝8，②25a＋5b＋c＝158，③②－①，得a＋b＝2，④③－①，得4a＋b＝26，⑤联立④⑤，得a＋b＝2，4a＋b＝26，解得a＝8，b＝－6，把a＝8，b＝－6代入①，得c＝－12.因此所求函数的解析式为y＝8x2－6x－12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．[解]根据题意，得a＋b＋c＝4，9a＋3b＋c＝－20，a－b＋c＝－12，解得a＝－5，b＝8，c＝1，因此所求函数的解析式为y＝－5x2＋8x＋1.二元二次方程组的解集【例4】求下列方程组的解集．(1)x＋y＝8，①xy＝12.②(2)x2－4xy＋4y2＋x－2y－2＝0，①3x＋2y－11＝0.②[解](1)由①得y＝8－x，③把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.解得x1＝2，x2＝6.把x1＝2代入③，得y1＝6.把x2＝6代入③，得y2＝2.-6-所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,6)，(6,2)}．(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，解得x－2y＝1或x－2y＝－2，由x－2y＝1，3x＋2y－11＝0，得x＝3，y＝1.由x－2y＝－2，3x＋2y－11＝0，得x＝94，y＝178.所以原方程组的解集为x，y3，1，94，178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4．求方程组x＋2y＝4，①2xy＝－21②的解集．[解]∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，∴x＝－3，2y＝7或x＝7，2y＝－3，即x＝－3，y＝72或x＝7，y＝－32.所以原方程组的解集为x，y－3，72，7，－32.方程组的实际应用【例5】某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，从乙地到甲地需要2.3h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡-7-路的行驶过程中时速分别是30km,20km,40km，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？[思路点拨]题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.[解]设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是xkm，ykm和zkm.由题意得x＋y＋z＝70，x20＋y30＋z40＝2.5，z20＋y30＋x40＝2.3，解得x＝12，y＝54，z＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)[解]设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x只、y只、z只．根据题意，得x＋y＋z＝100，①5x＋3y＋z3＝100.②②×3－①，得7x＋4y＝100，y＝100－7x4＝25－74x.因为x，y均为正数，所以x一定是4的倍数，且x是小于1007的正整数，所以x的取值只能为4,8,12.若x＝4，则y＝18，z＝78；若x＝8，则y＝11，z＝81；若x＝12，则y＝4，z＝84.故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．-8-1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.1．二元一次方程组x＋3y＝7，y－x＝1的解集是()A．{(x，y)|(1,2)}B．{(x，y)|(1,0)}C．{(x，y)|(－1,2)}D．{(x，y)|(1，－2)}A[由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{(x，y)|(1,2)}．]2．求方程组x＋y－z＝11，x＋z＝5，x－y＋2z＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取()A．先消去xB．先消去yC．先消去zD．以上说法都不对B[根据系数特点，先消去y最简便，故选B.]3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差()A．80毫升B．110毫升C．140毫升D．220毫升B[设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，依题意有a＋c－40＝2a，①a＋b＋c＋180＝3b，②②－①，得b－a＝110，故选B.]4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是x＝2，y＝3和x＝－3，y＝－2.试写出符合要求的方程组________．xy＝6x－y＝－1[由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，-9-故可组成方程组为xy＝6，x－y＝－1(答案不唯一)．]