2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一

-1-2.2.3一元二次不等式的解法学习目标核心素养1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．2．解绝对值不等式．(重点、难点)3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1.通过数学抽象理解绝对值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．不等式的解集与不等式组的解集一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．2．绝对值不等式一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？提示：不等式|x|＜a|x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝a＋b2.4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．-2-(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考2：不等式x2－y20是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x21的解集及其含义是什么？提示：不等式x21的解集为{x|x－1或x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．7．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像思考4：若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则a0，1＋4a0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－10的解集为R.-3-1．不等式组2x＋1＞0，3x－2≤0的解集为()A.x－12≤x≤23B.x12＜x≤23C.x－12＜x＜23D.x－12＜x≤23D[因为2x＋1＞0，∴x＞－12，3x－2≤0，∴x≤23，不等式组的解集为x－12＜x≤23.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()A.x－1＜x＜13B.x13＜x＜1C．∅D．RD[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式|x|－3＜0的解集为________．{x|－3＜x＜3}[不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]4．不等式－3x2＋5x－40的解集为________．∅[原不等式变形为3x2－5x＋40.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－230，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋40的解集为∅.]求不等式组的解集【例1】不等式组12x－1≤0，x＋3＞0的解集是()A．x＞－3B．－3≤x＜2C．－3＜x≤2D．x≤2C[12x－1≤0，①x＋3＞0，②解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3，∴不等式组的解集为－3＜x≤2，故选C.]-4-一元一次不等式组解集的求解策略(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．1．解不等式组2x＋5＞3x＋2，x＋43≤3x＋34＋1，并在数轴上表示该不等式组的解集．[解]2x＋5＞3x＋2，①x＋43≤3x＋34＋1，②由①得，x＜3，由②得，x≥－1，故此不等式组的解集为－1≤x＜3，在数轴上表示为：解绝对值不等式【例2】不等式|5－4x|＞9的解集为________．xx＜－1或x＞72[∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞72.∴原不等式的解集为xx＜－1或x＞72.]1．(变设问)不等式|5－4x|≤9的解集为________．x－1≤x≤72[∵|5－4x|≤9，∴－9≤4x－5≤9.-5-∴－1≤x≤72，∴原不等式的解集为x－1≤x≤72.]2．(变设问)若不等式|kx－5|≤9的解集为x－1≤x≤72，则实数k＝________.4[由|kx－5|≤9⇔－4≤kx≤14.∵不等式的解集为x－1≤x≤72，∴k＝4.]1．|x|＜a与|x|＞a型不等式的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R2.|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.2．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为()A.x－72＜x＜－52或－12＜x≤12B.x－72＜x＜－52或－12＜x＜12C.x－72≤x＜－52或－12＜x≤12D.x－72≤x≤－52或－12＜x≤12C[∵2＜|2x＋3|≤4，∴2＜2x＋3≤4，或－4≤2x＋3＜－2，∴－12＜x≤12，或－72≤x＜－52，∴不等式的解集为x－72≤x＜－52或－12＜x≤12，故选C.]-6-一元二次不等式的解法【例3】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋30；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－20.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为xx－12或x－3.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.5写解集.根据图像写出不等式的解集.3．解下列不等式．(1)2x2－3x－20；(2)x2－4x＋40；(3)－x2＋2x－30；(4)－3x2＋5x－20.[解](1)∵Δ0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2，∴不等式2x2－3x－20的解集为xx－12或x2.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋40的解集为{}x|x≠2.-7-(3)原不等式可化为x2－2x＋30，由于Δ0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－30的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋20，由于Δ0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－20的解集为x23x1.含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.[思路点拨]①对于二次项的系数a是否分a＝0，a0，a0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？[解]当a＝0时，原不等式可化为x1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)0.当a0时，不等式可化为x－1a(x－1)0，∵1a1，∴x1a或x1.当a0时，原不等式可化为x－1a(x－1)0.若1a1，即a1，则1ax1；若1a＝1，即a＝1，则x∈∅；若1a1，即0a1，则1x1a.综上所述，当a0时，原不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x1}；当0a1时，原不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为x1ax1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤-8-提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．4．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a0)．[解]原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a0，∴(x＋1)x－2a≤0.当－2a0时，2a≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a－2时，－1≤x≤2a.综上所述，当－2a0时，解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a－2时，解集为x－1≤x≤2a.三个“二次”的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y0、y0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y＝x2－2x－3的图像如图所示．-9-函数y＝x2－2x－3的值满足y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x－1或x3}；同理，满足y0时x的取值集合为{x|－1x3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图像与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y0或y0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－30的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－30的解集为{x|x－1或x3}，观察发现不等式x2－2x－30解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？提示：一元二次不等式ax2＋