2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式章末复习课学案 新人教B版必修第一册

-1-第2章等式与不等式一元二次方程根与系数的关系【例1】如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＜2且k≠1B．k＜2且k≠0C．k＞2D．k＜－2A[∵关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)×1＞0，解得：k＜2且k≠1，故选A.]根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k－1≠0且Δ＝－22－4k－1×1＞0.1．若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值是()A．－3B．3C．－1D．1D[∵m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，-2-∴m＋n＝－1，mn＝－2，则m＋n－mn＝－1－(－2)＝1，故选D.]方程组的解集【例2】如果关于x，y的二元一次方程组a1x＋b1y＝－2，a2x－b2y＝4的解为x＝1，y＝2，则方程组a1x＋b1y＝－2＋a1a2x－b2y＝4＋a2的解集为()A．{(x，y)|(2,1)}B．{(x，y)|(2,3)}C．{(x，y)|(2,2)}D．{(x，y)|(1,2)}C[由方程组a1x＋b1y＝－2＋a1，a2x－b2y＝4＋a2得a1x－1＋b1y＝－2，a2x－1－b2y＝4，根据题意知x－1＝1y＝2，即x＝2y＝2，解集为{(x，y)|(2,2)}，故选C.]求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.2．已知某三种图书的价格分别为10元，15元，20元．某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，每种图书至少一本，则不同的购书方案有多少种()A．10B．9C．12D．11B[设购买10元的a本，15元的b本，则20元的(30－a－b)本，依题意得：10a＋15b＋20(30－a－b)＝500，整理，得2a＋b＝20.①当b＝2时，a＝9，②当b＝4时，a＝8.③当b＝6时，a＝7.④当b＝8时，a＝6.⑤当b＝10时，a＝5.⑥当b＝12时，a＝4.⑦当b＝14时，a＝3.⑧当b＝16时，a＝2.-3-⑨当b＝18时，a＝1.则不同的购书方案有9种．故选B.]一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，所以(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.3．若关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.2[因为ax2－6x＋a20的解集是{x|1＜x＜m}，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m1，a＞0⇒m1，a＞0，1＋m＝6a，1·m＝a⇒m＝2，a＝2.]不等式恒成立问题【例4】(1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________．(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．(1)－22＜m＜0[由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，所以只需m2＋m2－1＜0，m＋12＋mm＋1－1＜0，-4-即2m2－1＜0，2m2＋3m＜0，解得－22＜m＜0.](2)[解]由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，所以x－2×－1＋x2－4x＋4＞0，x－2＋x2－4x＋4＞0，解得x＜1或x＞3.故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：1变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.2转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则①y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k；②y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.4．若不等式ax2－2x＋20对于满足1x4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．[解]∵1x4，∴不等式ax2－2x＋20可化为a2x－2x2.令y＝2x－2x2，且1x4，则y＝2x－2x2＝－21x－122＋12≤12，当且仅当1x＝12，即x＝2时，函数y取得最大值12，∴a12即为所求．-5-