2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数 3.1.2 函数的单调性（第2课时）函数的平均变

-1-第2课时函数的平均变化率学习目标核心素养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.1．直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称y2－y1x2－x1为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为ΔyΔx)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1即ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1，则(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是ΔyΔx＞0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是ΔyΔx＜0在I上恒成立．当x1≠x2时，称ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝st2－st1t2－t1.(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即a＝vt2－vt1t2－t1.-2-1．已知点A(1,0)，B(－1,1)，则直线AB的斜率为()A．－12B.12C．－2D．2A[直线AB的斜率1－0－1－1＝－12.]2．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为()A．1B．－1C．2D．－2B[ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－33－1＝－1.]3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)减[任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴ΔyΔx＝y1－y2x1－x2＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]4．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的平均变化率ΔyΔx.[解]∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5)＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21.则ΔyΔx＝211＝21.平均变化率的计算【例1】一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．[思路点拨]由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．[解]设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，-3-所以平均膨胀率ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．2．求平均变化率只需要三个步骤：(1)求出或者设出自变量的改变量；(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量；(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．1．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率．[解](1)如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝0.25x.(2)84m/min＝1.4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10s内平均变化率ΔyΔt＝3.510＝0.35(m/s)，即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35m/s.利用平均变化率证明函数的单调性【例2】若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝1fx在I上为减函数．[思路点拨]由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得ΔyΔx＞0，再证ΔgΔx＜0即可．[证明]任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，-4-∴Δy＞0，ΔyΔx＞0，∴Δg＝g(x2)－g(x2)＝1fx2－1fx1＝fx1－fx2fx1fx2.又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，∴Δg＜0，∴ΔgΔx＜0，故g＝1fx在I上为减函数．单调函数的运算性质若函数fx，gx在区间I上具有单调性，则：1fx与fx＋CC为常数具有相同的单调性.2fx与a·fx，当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性.3当fx恒为正值或恒为负值时，fx与1fx具有相反的单调性.(4)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数2．已知函数f(x)＝1－3x＋2，x∈[3,5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．[解]由于y＝x＋2在[3,5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－3x＋2为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－3x2＋2－1－3x1＋2＝3x1＋2－3x2＋2＝3x2－x1x1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，-5-∴Δy＞0，∴ΔyΔx＞0，故函数f(x)在[3,5]上是增函数．二次函数的单调性最值问题[探究问题]1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－b2a与区间[m，n]的关系．【例3】已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．[思路点拨][解]因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝a2，当a2≤12，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；当a212，即a1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．[解](1)当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.(2)当a2≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝2－a.(3)当0a21，即0a2时，f(x)在0，a2上单调递减，在a2，1上单调递增，故f(x)min-6-＝fa2＝1－a24.2．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解]当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝12，①当t≥12时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②当t＋1≤12，即t≤－12时，f(x)在其上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝t＋122＋34＝t2＋t＋1；③当t12t＋1，即－12t12时，函数f(x)在t，12上单调递减，在12，t＋1上单调递增，所以f(x)min＝f12＝34.二次函数在闭区间上的最值设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系－b2a＜m＜n，即－b2a∈(－∞，m)m＜－b2a＜n，即－b2a∈(m，n)m＜n＜－b2a，即－b2a∈(n，＋∞)图像最值f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f－b2af(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)1．平均变化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；-7-(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件(1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx＞0恒成立；(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立.1．思考辨析(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.()(2)函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．()(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等．()[答案](1)√(2)√(3)×2．函数f(x)＝x从1到4的平均变化率为()A.13B.12C．1D．3A[Δy＝4－1＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为ΔyΔx＝13.]3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是()B[由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．]4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．求-8-该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．[解]该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－31＋Δt2－8＋3×12Δt＝(－6－3Δt)(m/s)．