2019-2020学年高中数学 模块复习课学案 新人教A版必修1

-1-模块复习课一、集合与函数概念1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则A⊆B(或B⊇A)；(2)真子集：若集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中，则AB(或BA)；(3)相等：若集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集，则A＝B.(4)子集的性质①若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．②子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．④A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：UA＝{x|x∈U且xA}．4．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元-2-B中都有唯一确定的数f(x)和它对应素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应名称那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B(1)函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}称为函数的三要素．(2)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数．5．函数的单调性单调性的定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，(1)若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说f(x)在区间D上是增函数；(2)若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说f(x)在区间D上是减函数．6．函数的奇偶性(1)f(x)是奇函数⇔对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)⇔对定义域内任意x，都有f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)图象关于原点对称；(2)f(x)是偶函数⇔对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)⇔对定义域内任意x，都有f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)图象关于y轴对称．二、基本初等函数(Ⅰ)1．分数指数幂(1)amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；(2)a－mn＝1amn(a0，m，n∈N*，且n1)．2．根式的性质(1)(na)n＝a；(2)当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.3．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；-3-(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．4．指数式与对数式的互化logaN＝b⇔ab＝N(a0，a≠1，N0)．5．对数的四则运算法则若a0，a≠1，M0，N0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．6．对数的换底公式及推论(1)换底公式：logab＝logcblogca(a0，a≠1，c0，c≠1，b0)．(2)常用推论：①logab·logba＝1；②logab·logbc·logca＝1；③logambn＝nmlogab(a0，a≠1，b0)．7．对数恒等式：alogaM＝M，logaax＝x.8．幂、指数、对数函数的图象及性质(1)指数函数的图象和性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)定点过点(0，1)，即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数(2)对数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)-4-值域：R过点(1，0)，即当x＝1时，y＝0x∈(0，1)时，y0；x∈(1，＋∞)时，y0x∈(0，1)时，y0；x∈(1，＋∞)时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数(3)五个常见幂函数的图象：三、函数与方程1．函数的零点(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点的判断①若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)概念：对于区间[a，b]上连续的，且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．(2)用二分法求函数零点的近似值-5-第一步：确定区间[a，b]，验证：f(a)·f(b)0，给定精确度；第二步：求区间[a，b]的中点x1；第三步：计算f(x1)；若f(x1)＝0，则x1就是函数零点；若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1；若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1；第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．3．函数模型的应用(1)三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同增长速度ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长增长后果总会存在一个x0，当xx0时，就有axxnlogax(2)函数模型的选取及数据拟合的一般步骤1．任何一个集合都至少有两个子集．(×)[提示]空集只有一个子集．2．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)[提示]结合集合的描述法可知{x|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的定义域；{y|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的值域；{(x，y)|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1上的点集，故不正确．3．若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(×)[提示]{x2，1}＝{0，1}，则x＝0.-6-4．{x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)5．对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)6．若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)[提示]B，C未必相等．7．若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)[提示]不能用特殊值判断函数的单调性．8．函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)[提示][1，＋∞)为函数的单调递增区间的子集．9．函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)[提示]单调区间不能用“∪”连接．10．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(√)11．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)[提示]函数未必在原点处有定义．12．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)13．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)14．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(×)[提示]b＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R是偶函数．15.nan＝(na)n＝a(n∈N＋)．(×)[提示]注意n的奇偶性．16．若aman(a0，且a≠1)，则mn.(×)[提示]当a1时，命题成立．17．函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)18．若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)[提示]MN0未必M0，N0.19．对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)[提示]a1时，上述命题成立．20．函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)21．对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，1a，－1，函数-7-图象只在第一、四象限．(√)22．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)[提示]函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标．23．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.(×)24．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．(√)25．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．(√)26．某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)[提示]降价后：价格为100(1＋10%)×90%＝99，比较两者间的关系，易知亏损．27．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)[提示]未必，如当x＝2时，函数y＝2x与y＝x2函数值相等．28．不存在x0，使ax0xn0logax0.(×)[提示]存在，结合函数图象可知．29．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)的增长速度．(√)30．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)[提示]a0，b1.1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2}，B＝{x|3－2x0}，则()-8-A．A∩B＝xx＜32B．A∩B＝C．A∪B＝xx＜32D．A∪B＝RA[因为B＝{x|3－2x＞0}＝xx＜32，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝xx＜32，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.]3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)B[法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.]4．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]D[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]5．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1xD[根据函数解析式特征求函数的定义域、值域．函数y＝10lgx的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域