2019-2020学年高中数学 第1章 统计案例 2 2.1 条件概率与独立事件学案 北师大版选修1

-1-2.1条件概率与独立事件学习目标核心素养1.了解条件概率的概念及计算．(重点)2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(重点、难点)1.借助对条件概率和相互独立事件的理解，提升学生的逻辑推理的核心素养．2．通过利用概率的知识分析解决实际问题的过程，培养学生数学建模的核心素养.1．条件概率概念已知事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)公式当P(B)＞0时，P(A|B)＝PA∩BPB2.相互独立事件定义对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立性质如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立公式如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝{取到的2个数之和为偶数}，事件B＝{取到的2个数均为偶数}，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12B[从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B包含(2,4)一个基本事件，故P(A)＝410，P(AB)＝110.所以P(B|A)＝PABPA＝14.]2．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中-2-各取一球均为白球的概率为()A.16B.25C.215D.56A[记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P(AB)＝P(A)P(B)＝24×26＝16.]3．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于________．215[由P(B|A)＝PABPA，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.]条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．思路点拨：解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝PABPA求概率．[解]由古典概型的概率公式可知：(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝PABPA＝11025＝14.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤-3-1．分析题意，弄清概率模型；2．计算P(A)，P(AB)；3．代入公式求P(B|A)＝PABPA.1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是()A.14B.23C.12D.13D[一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．于是可知P(A)＝34，P(AB)＝14.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝1434＝13.]事件独立性的判断【例2】判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．思路点拨：利用相互独立事件的定义判断．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．-4-判断两事件是否具有独立性的三种方法1．定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．2．公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．3．条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥(1)A(2)B[(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．]相互独立事件同时发生的概率[探究问题]1．实际问题中如何判断事件的独立性？[提示]在实际问题中，判断事件的独立性往往凭经验，或借助直观的方法，而不需要通过P(AB)＝P(A)P(B)验证．如有放回的两次抽奖、掷5次同一枚硬币、两人射击等等，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出相互独立与否．但对条件较复杂的情形．如甲、乙是地球上两个不同点，“甲地地震”与“乙地地震”就不能轻易判定为相互独立，因为它们可能存在某种内在联系．对这类问题的事件独立性，需要依据公式P(AB)＝-5-P(A)P(B)来判断．2．甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．[提示]记A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、乙都未击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A与B是相互独立的，则A，B也是相互独立的，则P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.3．上述问题中如何求敌机被击中的概率？[提示]记D＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P(AB)＝1－0.2＝0.8.【例3】某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．思路点拨：明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值[解]设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.0025.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(AB)表示．由于事件AB与AB互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.(3)法一：“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(AB)＋(AB)表示．由于事件AB，AB和AB两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.0025＋0.095＝0.0975.-6-法二：1－P(AB)＝1－(1－0.05)2＝0.0975.即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975.求P(AB)时的注意要点及思路求P(AB)时注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A，B是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P(A)＝1－P(A)来运算．3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13，14.求：(1)两个人都破译出密码的概率；(2)两个人都破译不出密码的概率；(3)恰有一人破译出密码的概率；(4)至多一人破译出密码的概率；(5)至少一人破译出密码的概率．[解]记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112.(2)两个人都破译不出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出，乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝13×1－14＋1－13×14＝512.(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P(AB)＝1－112＝1112.-7-(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P(AB)＝1－12＝12.1．条件概率的理解与判断条件概率是指所求事件的发生是有前提条件的，是指在已知事件A必然发生的前提下，只需局限在A发生的范围内考虑问题即可，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，由古典概型知其条件概率为：P(B|A)＝nABnA＝nABnΩnAnΩ＝PABPA，其中n(Ω)为一次试验中可能出现的结果数，n(A)为事件A所包含的结果数，n(AB)为A与B同时发生时的结果数．2．判断相互独立事件的方法若P(AB)＝P(A)P(B)，则A、B独立，即如果A、B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得出事件A、B为相互独立事件．3．若两个事件A，B相互独立，则A、B中至少有一个发生的事件为A＋B；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为AB；A、B恰有一个发生的事件为AB＋AB；A、B中至多有一个发生的事件为AB＋AB＋AB.1．判断正误(1)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球为事件A，摸出黑球为事件B，摸出红球为事件C，则A、B、C相互独立．()(2)在事件A发生的条件下，B发生的概率称为条件概率．()(3)抽奖活动中，在甲抽到奖后，乙又抽到奖，这两个事件为相互独立事件．()[答案](1)√(2)√(3)×2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为()A．1－a－bB．1－abC．(1－a)(1－b)D．1－(1－a)(1－b)-8-C[∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a)(1－b)．]3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于________．12[P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝1412＝12.]4．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时