2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 1 1.1 实数大小的比较 1.2 不

-1-1.1实数大小的比较1.2不等式的性质学习目标：1.理解实数大小与实数运算间的关系，会用作差(商)法比较大小．(重点)2.理解并掌握不等式的性质．(重点、易错易混点)3.能用不等式的性质解决一些简单的问题．(难点)教材整理1实数大小的比较阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．2．两实数大小与运算间的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；a＝b⇔a－b＝0.(2)当a0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b，ab＜1⇔a＜b；ab＝1⇔a＝b.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ab1，则ab.()(2)∀x∈R，x22x.()(3)若abc且a＋b＋c＝0，则a0，c0.()[解析](1)×因为b的正负不确定．(2)×因为x2－2x＝x(x－2)，其正负随x的范围的变化而改变．(3)√因为ab，ac，所以2ab＋c，即3aa＋b＋c＝0，所以a0，又因为ca，cb，∴3ca＋b＋c＝0，即c0.[答案](1)×(2)×(3)√教材整理2不等式的性质阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．性质1对称性a＞b⇔b＜a性质2传递性如果a＞b，b＞c，那么a＞c性质3可加性如果a＞b，那么a＋c＞b＋c推论如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d性质4可乘性如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；-2-如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc推论1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd推论2如果a＞b＞0，那么a2＞b2推论3如果a＞b＞0，那么an＞bn(n为正整数)推论4如果a＞b＞0，那么a1n＞b1n(n为正整数)填空(填不等号)：(1)若ab＋c，则a－b________c.(2)若ab0，则1a________1b.(3)若ab，cd，则a－c________b－d.(4)若ab0,0cd，则ac________bd.[解析]利用不等式的性质可得．[答案](1)(2)(3)(4)实数大小的比较【例1】(1)已知x＞3，比较x3＋3与3x2＋x的大小；(2)若m＞0，试比较mm与2m的大小．[精彩点拨](1)只需考查两者差同0的大小关系；(2)注意到2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质．[自主解答](1)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0，∴x3＋3＞3x2＋x.(2)mm2m＝m2m，当m＝2时，m2m＝1，此时mm＝2m，当0＜m＜2时，0＜m2＜1，m2m＜1，-3-∴mm＜2m.当m＞2时，m2＞1，m2m＞1，∴mm＞2m.比较大小的常用方法及步骤1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0.一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．2．求商法：当a0，b0时，把比较a，b的大小转化为比较ab与1的大小关系，此即为作商比较法．理论依据是不等式的性质：若a0，b0，则ab≥1⇔a≥b，ab≤1⇔a≤b.一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．1．已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，试比较m与n的大小．[解]m－n＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝x＋y2－4xyxyx＋y＝x－y2xyx＋y，∵x，y均为正数，∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0，∴m－n≥0，即m≥n.利用不等式性质判断命题的真假【例2】对于实数a，b，c判断下列命题的真假．(1)若ab，则acbc；(2)若ac2bc2，则ab；(3)若ab0，则a2abb2；(4)若ab0，则|a||b|；(5)若cab0，则ac－abc－b.[精彩点拨]本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基-4-本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．[自主解答](1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac2bc2知c≠0，而c20，∴ab，故该命题是真命题．(3)ab，a0⇒a2ab；又ab，b0⇒abb2，∴a2abb2，故该命题是真命题．(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．(5)ab0⇒－a－b0，cab0⇒0c－ac－b⇒1c－a1c－b0，ab0⇒ac－abc－b，故该命题是真命题．1．判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否推出与结论一致的结论．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．2．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若ac2＞bc2，则a＞b；(3)若a＞b，ab≠0，则1a＜1b；(4)若a＞b，c＞d，则ac＞bd.[解](1)错误．当c＝0时不成立．(2)正确．∵c2≠0且c2＞0，在ac2＞bc2两边同乘以c2，∴a＞b.(3)错误．a＞b⇔1a＜1b成立的条件是ab＞0.(4)错误．a＞b，c＞d⇒/ac＞bd，例如当a，b，c，d为负数时不成立.-5-不等式性质的简单应用[探究问题]1．甲同学认为a＞b⇔1a＜1b，乙同学认为a＞b＞0⇔1a＜1b，丙同学认为a＞b，ab＞0⇔1a＜1b，请你思考一下，他们谁说得正确？[提示]甲说得不正确．当a0，b0时不成立；乙说得是正确的，但不全面，当0ab时也有1a1b；丙说得非常正确．2．根据60x84,28y33，如何求得x－y和xy的取值范围，直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围可以吗？[提示]不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．正确解法应是：x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的取值范围；xy＝x×1y，所以需先求出1y的取值范围．∵28y33，∴－33－y－28，1331y128.又60x84，∴27x－y56，6033xy8428，即2011xy3.【例3】设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，在求f(－2)的取值范围时有如下解法：由1≤f－1≤2，2≤f1≤4，得32≤a≤3，0≤b≤32.∴3≤f(－2)＝4a－2b≤12.上述解法是否正确？为什么？[精彩点拨]f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，而a＋b与a－b中的a，b，不是独立的，是相互制约的．本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(－2)的范围扩-6-大．因此需要将f(－2)用a－b与a＋b整体表示．[自主解答]不正确．设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b.于是m＋n＝4，m－n＝2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．而1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．若ab0，cd0，e0.求证：ea－c2eb－d2.[证明]∵cd0，∴－c－d0，∵ab0，∴a－cb－d0.(*)由(*)式知(a－c)2(b－d)20，∴1b－d21a－c2.又∵e0，∴eb－d2ea－c2.即ea－c2eb－d2.-7-1．设a∈R，则下面式子正确的是()A．3a＞2aB．a2＜2aC.1a＜aD．3－2a＞1－2a[答案]D2．已知m，n∈R，则1m＞1n成立的一个充要条件是()A．m＞0＞nB．n＞m＞0C．m＜n＜0D．mn(m－n)＜0[解析]∵1m＞1n⇔1m－1n＞0⇔n－mmn＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.[答案]D3．若6≤x≤13,2≤y≤7，则x－y的取值范围是________．[解析]∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13，所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11.[答案][－1,11]4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序号)①1a＜1b；②ab＞b2；③ba＞ab；④a＋bb＜1.[解析]∵a＜b＜0，∴1a＞1b，①不成立；由b＜0，a＜b，∴ab＞b2，②成立；又a＜b＜0，∴0＜ba＜1，ab＞1，因此ba＞ab不成立；a＋bb＝ab＋1＜1不成立，即①，③，④不正确，只有②成立．[答案]②-8-5．已知一次函数f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．[解]∵－1≤－a＋b≤2，－2≤2a＋b≤3.又∵f(3)＝3a＋b＝－13(－a＋b)＋43(2a＋b)，∴－103≤f(3)≤133.