2019-2020学年高中数学 第3章 推理与证明 2 数学证明学案 北师大版选修1-2

-1-§2数学证明学习目标核心素养1.理解演绎推理的概念．(重点)2．掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单的推理．(重点)3．能用“三段论”证明简单的数学问题．(难点)通过对演绎推理的理解及应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养.1．证明(1)证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理．(2)证明的方法：演绎推理．2．演绎推理的主要形式演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一个一般性道理．(2)小前提：研究对象的特殊情况．(3)结论：根据大前提和小前提作出的判断．[特别提醒]运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．1．下面几种推理中是演绎推理的为()A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为an＝1nn＋1(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2C[A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．]2．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人-2-C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式A[A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．]3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_____________________________________________；小前提：_____________________________________________；结论：_______________________________________________.[答案]一次函数的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．思路点拨：三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为同一常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)-3-把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.[解](1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)∠A＝∠B.(结论)演绎推理在几何中的应用【例2】如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．思路点拨：用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AEDF为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形AEDF的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)“三段论”证题的步骤及一般原理-4-1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[解]已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)∠1＝∠2.(结论)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)③等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2，∠3都等于∠1，(小前提)∠2和∠3相等．(结论)即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.演绎推理在代数中的应用[探究问题]1．演绎推理的结论一定正确吗？[提示]演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．2．因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝log13x是对数函数，所以y＝log13x是增函数．上面的推理形式和结论正确吗？[提示]推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的．-5-【例3】已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明：bab＋ma＋m.思路点拨：利用不等式的性质证明．[解]因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)ba，m0，(小前提)所以mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)mbma，(小前提)所以mb＋abma＋ab，即b(a＋m)a(b＋m)．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)b(a＋m)a(b＋m)，a(a＋m)0，(小前提)所以ba＋maa＋mab＋maa＋m，即bab＋ma＋m.(结论)代数问题中常见的利用三段论证明的命题1．函数问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．2．导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．3．三角函数的图像与性质．4．数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．5．不等式的证明．3．当a，b为正实数时，求证：a＋b2≥ab.[解]因为一个实数的平方是非负实数，(大前提)而a＋b2－ab＝a2－b22是一个实数的平方，(小前提)所以a＋b2－ab是非负实数，即a＋b2－ab≥0.所以a＋b2≥ab.(结论)1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．在演绎推理中，前提与结论之间存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的-6-工具．2．“三段论”的常用格式可以解释为大前提：M是P；(解释为M中的元素都具有P性质)小前提：S是M；(解释为S中的元素都是M中的元素)结论：S是P.(解释为S中的元素都具有P性质)3．三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式(即S与M的包含关系)是否正确．1．判断正误(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论是一定正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()[答案](1)×(2)×(3)×2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的A[这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a20”．显然结论错误，原因是大前提错误．]3．如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中分别省略了________、________.[答案]大前提大前提4．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)0.3·3·2·是有理数．[解](1)因为矩形的对角线相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等．(结论)(2)所有的循环小数都是有理数，(大前提)-7-0.3·3·2·是循环小数，(小前提)所以，0.3·3·2·是有理数．(结论)