2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明 第1课时 比较法证明

-1-第1课时比较法证明不等式学习目标：1.理解比较法证明不等式的理论依据．(重点)2.掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤．(重点)3.会用比较法证明简单的不等式．(难点)教材整理1求差比较法阅读教材P16“例1”以上部分，完成下列问题．1．理论依据(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔a－b0.2．定义：要证明ab，只要证明a－b0即可．这种方法称为求差比较法．3．步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)下结论．填空(填不等号)：(1)a∈R，a2＋b2________2ab.(2)a，b，m为正数，ba，ba________b＋ma＋m.(3)x2＋1________x.[解析](1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故填≥.(2)∵a，b，m为正数，且ab.∴ba－b＋ma＋m＝ba＋m－ab＋maa＋m＝mb－aaa＋m0，故填.(3)x2＋1－x＝x－122＋34≥340，故填.[答案](1)≥(2)(3)教材整理2求商比较法阅读教材P16“例3”以上部分，完成下列问题．1．理论依据-2-当b0时，(1)ab⇔ab1，(2)ab⇔ab1，(3)a＝b⇔ab＝1.2．定义：证明ab(b0)，只要证明ab1即可，这种方法称为求商比较法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ab1，则ab.()(2)求商比较法的关键是将商与1比较.()(3)求商比较法适合于任何两数的比较大小.()[解析](1)×若b0时，ab1⇒ab.若b0时，ab1⇒ab.(2)√关键是与1比较．(3)×求商比较法一般适合于两个同号数之间比较．[答案](1)×(2)√(3)×求差比较法证明不等式【例1】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1.对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.求差比较法证明不等式的技巧1．求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考-3-虑能否化简或值是多少．2．变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．3．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．1．已知a0，b0，求证：ab＋ba≥a＋b.[证明]∵ab＋ba－(a＋b)＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a＋ba－b2ab≥0.∴原不等式成立．求商比较法证明不等式【例2】已知a，b均为正数，且(a－b)(m－n)0.求证：ambnanbm.[精彩点拨]根据条件和结论，可作商与1比较，其中要用到指数函数的性质，由题设知a－b与m－n同号，再作分类讨论．[自主解答]由a，b均为正数，易得anbm0，ambn0.ambnanbm＝am-nbn-m＝abm-n.由(a－b)(m－n)0，得a－b与m－n同号且不等于零．(1)当ab0时，ab1，m－n0，∴abm-n1，∴ambnanbm.(2)当ba0时，0ab1，m－n0，∴abm-n1，∴ambnanbm.综上，a，b均为正数，均有ambnanbm.-4-1．两端均出现4个字母a，b，m，n，变形为abm-n，将ab与m－n视为两个整体，减少了字母讨论的个数．2．求商比较法证明的步骤是：“作商—变形—判断商与1的大小”．2．已知abc0，求证：a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.[证明]由abc0，得ac+bbc+aca+b0.不等式左右两边作商，得a2a·b2b·c2cab+c·bc+a·ca+b＝aaaabbbbccccabacbcbacacb＝aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b＝aba-b·aca-c·bcb-c.∵ab0，∴ab1，a－b0，即aba-b1.同理bcb-c1，aca-c1.∴a2a·b2b·c2cab+c·bc+a·ca+b1.即a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.比较法的应用[探究问题]1．求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？[提示]求差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．求商比较法主要适用的类型是什么？[提示]主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明．【例3】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；-5-(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．[精彩点拨](1)由条件列方程求q值；(2)写出Sn与bn的表达式，采用作差法比较Sn与bn的大小．判断符号时注意n的取值．[自主解答](1)由题设知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－12.(2)若q＝1，则Sn＝2n＋nn－12＝n2＋3n2＝nn＋32.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝n－1n＋22＞0，故Sn＞bn.若q＝－12，则Sn＝2n＋nn－12·－12＝－n2＋9n4＝－n－9n4.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－n－1n－104，故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn.比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法．当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式，一般使用求差比较法，当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用求商比较法．比较法应用各种比较大小的地方，如函数单调性的证明、数列、三角等方面都会涉及．3．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b10，a3＝b30，a1≠a3，试比较a5和b5的大小．[解]设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d.∵a1＝b10且a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，∴2d＝a1q2－b1＝a1q2－a1＝a1(q2－1)．∵a1≠a3，∴q2≠1，而b5－a5＝a1＋4d－a1q4＝a1＋2a1(q2－1)－a1q4＝－a1q4＋2a1q2－a1＝－a1(q2－1)2.∵(q2－1)20，a10，∴a1(q2－1)20，-6-∴－a1(q2－1)20，即b5a5.1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．tsB．t≥sC．tsD．t≤s[解析]∵s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.[答案]D2．已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比q≠1，若P＝a2＋a92，Q＝a4a7，则P与Q的大小关系为()A．P＜QB．P＝QC．P＞QD．P≥Q[解析]∵{an}为等比数列且各项为正数，∴a2·a9＝a4·a7，又q≠1，∴a2≠a9，∴a2＋a92＞a2a9＝a4a7，即P＞Q，故选C.[答案]C3．设a，b，m均为正数，且bab＋ma＋m，则a与b的大小关系是__________．[解析]b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m0，又a，b，m为正数．∴a(a＋m)0，m0，因此a－b0，ab.[答案]ab4．已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M，N的大小关系是__________．[解析]由0a1b，得0ab1,1－ab0.-7-故M－N＝11＋a＋11＋b－a1＋a＋b1＋b＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝21－ab1＋a1＋b0，∴MN.[答案]MN5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.[证明]2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.