2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理章末复习课学案 北师大版选修2-3

-1-第1章计数原理两个计数原理【例1】王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？[解](1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种)．(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种)．-2-(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种)．使用两个原理解决问题的思路1选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质.2分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.3分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理.1．如图为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电．8[先分三类．第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.]2．如图，一个地区分为5个行政区域，现给区域着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)72[涂①有4种方法；涂②有3种方法；涂③有2种方法；涂④时分两类：当④与②同色时，④有1种方法，⑤有2种方法；当④与②不同色时，④有1种方法，⑤有1种方法．∴共有4×3×2×(1＋2)＝72种涂法．]排列、组合的应用-3-【例2】(1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？(1)48[①只有1名老队员的排法有C12C23A33＝36种．②有2名老队员的排法有C22C13C12A22＝12种．所以共有36＋12＝48种．](2)解：①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A44＝24种方法．根据分步乘法计数原理，一共有5040×24＝120960种．②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720种方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝7×6×5×4＝840种．根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604800种．③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132种排法．1．排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．(2)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．2．解决排列组合应用题的常用方法(1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后；(3)先取后排，间接排除；(4)集团捆绑，间隔插空；(5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序．-4-3．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)60[1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C13个．所以满足条件的三位数共有A34＋2A24＋C14·C13＝60(个)．]二项式定理的应用【例3】已知在x－23xn的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求展开式中系数绝对值最大的项；(3)求n＋9C2n＋81C3n＋…＋9n－1Cnn的值．[解](1)由C4n(－2)4∶C2n(－2)2＝56∶3，解得n＝10(负值舍去)，通项为Tk＋1＝Ck10(x)10－k－23xk＝(－2)kCk10x5－5k6，当5－5k6为整数时，k可取0,6，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440.(2)设第k＋1项系数的绝对值最大，则Ck102k≥Ck－1102k－1，Ck102k≥Ck＋1102k＋1，解得k≤223，k≥193，又因为k∈{1,2,3，…，9}，所以k＝7，当k＝7时，T8＝－15360x－56，又因为当k＝0时，T1＝x5，当k＝10时，T11＝(－2)10x－103＝1024x－103，-5-所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15360x－56.(3)原式＝10＋9C210＋81C310＋…＋910－1C1010＝9C110＋92C210＋93C310＋…＋910C10109＝C010＋9C110＋92C210＋93C310＋…＋910C1010－19＝1＋910－19＝1010－19.二项式定理的问题类型及解答策略1确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素.2确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项.3求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数.4求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.5确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质.4．(1)已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝________.1[(1＋kx2)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(kx2)r＝Cr6krx2r，令2r＝8得r＝4，∴x8的系数为C46·k4＝15k4.∴15k4＜120.即k4＜8，又k是正整数．故k只能取1.](2)已知二项式5x－1xn展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍.①求n；②求展开式中二项式系数最大的项；③求展开式中所有x的有理项．[解]①令x＝1得二项式5x－1xn展开式中各项系数之和为(5－1)n＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.②通项Tr＋1＝Cr4(5x)4－r－1xr＝(－1)rCr454－rx4－32r.-6-展开式中二项式系数最大的项是第3项：T3＝(－1)2C2452x＝150x.③由②得：4－32r∈Z.(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4，所以展开式中所有x的有理项为T1＝(－1)0C0454x4＝625x4，T3＝(－1)2C2452x＝150x，T5＝(－1)4C4450x－2＝x－2.二项式定理中的“赋值”问题【例4】(1)1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n(2)已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，那么a1＋a2＋a3＋…＋a11＝________.(1)C(2)－65[(1)法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝1×2n＋1－12－1＝2n＋1－1.法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A，B，D，选C.(2)令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－64，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－65.]赋值法的应用规律与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果.5．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.[解](1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，-7-a2是展开式中x2的系数，∴a2＝C55(－1)5C35(－2)3＋C45(－1)4C45(－2)4＋C35(－1)3·C55(－2)5＝800.(2)令x＝1，代入已知式可得，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)令x＝－1可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.