2019-2020学年高中数学 模块复习课学案 新人教B版必修5

-1-模块复习课(教师独具)一、解三角形1．正弦定理及其推论：设△ABC的外接圆半径为R，则(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R.(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C．(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(4)在△ABC中，AB⇔ab⇔sin_Asin_B．2．余弦定理及其推论：(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．(2)cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为直角；c2a2＋b2⇔∠C为钝角；c2a2＋b2⇔∠C为锐角．3．正弦定理、余弦定理解三角形的问题：(1)两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角．②已知两边和其中一边的对角，求其他边角．(2)两类余弦定理解三角形的问题：①已知三边求三角．②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角．4．三角形面积公式：(1)S＝12aha＝12bhb＝12chc．(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．二、数列1．由递推关系求数列通项公式时的常用方法有：(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；(2)已知a1，且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an；-2-(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q()an＋k，(其中k可由待定系数法确定)，可转化为数列{an＋k}成等比数列求an；(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解．注意求出n＝1时，公式是否成立．2．an与Sn关系的应用问题：(1)由an与前n项和Sn关系求an时：an＝a1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，当n＝1时，若a1适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则n＝1时的情况可并入n≥2时的通项an；否则用分段函数的形式表示．(2)由an与前n项和Sn关系求Sn，通常利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知关系式转化为Sn与Sn－1的关系式，然后求解．3．判定一个数列是等差数列的方法：(1)用定义法(当n≥2时，an－an－1为同一常数)；(2)等差中项法(n≥2,2an＝an－1＋an＋1)；(3)an＝an＋b(a，b为常数)；(4)Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．4．解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差d与首项a1来表示，列出方程进行求解．5．求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值；(2)用通项公式求最值：求使an≥0(an≤0)成立时的最大值即可．6．判定一个数列是等比数列的方法：(1)定义法(n≥2，anan－1为同一常数)；(2)等比中项法(n≥2，a2n＝an－1·an＋1)(an≠0)．7．解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比q与首项a1来表示，列出方程进行求解．8．数列求和常用方法有：(1)公式法：直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和(等比数列求和需考虑q＝1与q≠1)；(2)倒序相加法：若一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法；(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构-3-成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法；(5)分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．三、不等式1．(1)比较两个实数大小的依据是：a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab．(2)作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有因式分解和配方法．2．不等式的性质(1)性质1如果ab，那么ba；如果ba，那么ab．(对称性)(2)性质2如果ab,且bc,则ac．(传递性)(3)性质3如果ab，则a＋cb＋c．推论1不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．(移项法则)推论2如果ab，cd，则a＋cb＋d．(4)性质4如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc．推论1如果ab0，cd0，则acbd．推论2如果ab0，则anbn(n∈N＋，n1)．推论3若果ab0，则nanb(n∈N＋，n1)．3．均值不等式的变形式：(1)a，b∈R⇒a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)；(2)a，b∈R＋时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(当且仅当a＝b时取“＝”号)．4．利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)．5．利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等．注意：(1)若多次利用基本不等式求解一个式子的最值时，需验证每次等号成立的条件必须相同；(2)若等号成立不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值.6．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．7．简单分式不等式的解法-4-(1)fxgx0(0)⇔f(x)·g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.8．线性规划中常见目标函数的转化公式：(1)截距型：z＝ax＋by⇒y＝－abx＋zb，与直线的截距相关联，若b0，则zb的最值情况和z的一致；若b0，则zb的最值情况和z的相反；(2)斜率型：z＝y－bx－a⇒(a，b)与(x，y)的斜率；(3)点点距离型：z＝x2＋y2＋ax＋by＋c⇒z＝(x－m)2＋(y－n)2表示(x，y)到(m，n)两点距离的平方；(4)点线距离型：z＝|ax＋by＋c|⇒z＝|ax＋by＋c|a2＋b2×a2＋b2表示(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的a2＋b2倍．(教师独具)1．在三角形中，大边对大角，小边对小角．(√)2．任意给定三边和三角中的三个元素，都可以用正弦、余弦定理解三角形．(×)提示：已知三角无法解得三角形三边．3．已知三角形两边及一边的对角时，解可能有两个．(√)4．已知三角形两边及一边的对角时，解一定有两个．(×)提示：可能无解，也可能一解，也可能两解．5．在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(×)提示：若a2b2＋c2，则∠A为锐角，而锐角三角形是三个角均为锐角．6．若数列{an}满足an－an－1＝d(其中d为常数，则{an}为等差数列．(×)提示：n≥2.7．任意两个实数都有等差中项．(√)8．任意两个非零实数都有等比中项．(×)提示：只有同号的两数才有等比中项．9．若数列{an}满足an＝qan－1(其中q为非零常数)，则{an}为等比数列．(×)提示：n≥2.10．x，G，y成等比数列，则G＝xy.(×)提示：G＝±xy.11．若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要-5-条件是c＝0.(√)12．等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N＋)是等差数列．(√)13．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an＋bn}、{an－bn}仍为等差数列．(√)14．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列仍为等比数列．(√)15．若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.(×)提示：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.16．等比数列的首项为a1，公比为q，那么其前n项和Sn＝a11－qn1－q.(×)提示：Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.17．若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．(√)18．若acbc，则ab．(×)提示：c0时，ab．19．两个不等式相乘时，同向同负时也能相乘符号不变．(×)提示：ab0，cd0则acbd．20．利用均值不等式求最值时，如果没要求就可以不用写出等号成立的条件．(×)提示：一正、二定，三相等，必需要点明，要注意等号成立的条件是否在给定范围内．21．(x＋y)1x＋4y≥2xy·24xy＝8.(×)提示：两个均值不等式等号成立条件不同．22．若xy0，则(x＋y)1x＋4y＝5＋yx＋4xy≥5＋2yx·4xy＝9.(√)23．不等式ax2＋bx＋c0恒成立等价于a0且b2－4ac0.(×)提示：a＝0时，也可能恒成立．24．含参数的一元二次不等式必须要根据Δ0，Δ＝0，Δ0进行分类讨论．(×)提示：还可能讨论二次项系数，也可能讨论根的大小．25．含参数的一元二次不等式可能不用分类讨论．(√)26．fxgx≥0⇔f(x)g(x)≥0.(×)提示：g(x)≠0.27．线性规划问题中线性目标函数一定有最大值．(×)提示：当可行域为开放型区域时，不一定有最大值．28．线性规划问题中最优解一定在顶点处取得，所以只需要把顶点坐标代入目标函数，-6-然后比较函数值的大小即可得到最大值或最小值．(×)提示：有时最优解不一定在顶点处取得．29．线性规划问题中取得最大值的最优解要么没有，要么一个．(×)提示：也可能无数个，也可能有几个，如整点．30．比较两数或两式大小时，作差法和作商法均可以．(×)提示：作商法要求分母不为零，且要注意分子、分母的符号．1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C．29D．25A[因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42.故选A．]2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12B[法一：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴33a1＋3×22d＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．法二：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×22d＝D．∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．]3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则∠C＝()A．π2B．π3C．π4D．π6C[因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，-7-得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，∠C＝π4.故选C．]4．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为_