2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程 3 参数方程化成普通方程学案 北师大版选修4-4

-1-§3参数方程化成普通方程学习目标：1.了解参数方程化成普通方程的意义.2.掌握参数方程化成普通方程的基本方法．(重点)3.能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题．(难点)教材整理参数方程化为普通方程参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系．两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：(1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程．②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程．(2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程．填空：(1)将参数方程x＝t，y＝2t(t为参数)化为普通方程是________．(2)将参数方程x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)化为普通方程是________．(3)将参数方程x＝2t2，y＝t＋1(t为参数)化为普通方程是________．[解析](1)把t＝x代入②得y＝2x即普通方程为y＝2x.(2)由sin2θ＋cos2θ＝1得x2＋y2＝1.(3)由②得t＝y－1，代入①得x＝2(y－1)2.[答案](1)y＝2x(2)x2＋y2＝1(3)x＝2(y－1)2把曲线的普通方程化为参数方程-2-【例1】根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)x－123＋y－225＝1，x＝3cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)[精彩点拨]根据题目要求代入可求解．[尝试解答](1)将x＝3cosθ＋1代入x－123＋y－225＝1得y＝2＋5sinθ.∴x＝3cosθ＋1，y＝5sinθ＋2(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，∴x＝t＋1，y＝t2＋3t＋1(t为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tanθ(θ为参数)，则参数方程为x＝tanθ，y＝tan2θ＋tanθ－1(θ为参数)．1．求xy＝1满足下列条件的参数方程．(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tanθθ≠kπ2，k∈Z.[解](1)将x＝t代入xy＝1得t·y＝1.∵t≠0，∴y＝1t，∴x＝t，y＝1t(t为参数，t≠0)．(2)将x＝tanθ代入xy＝1得y＝1tanθ，-3-∴x＝tanθ，y＝1tanθ(θ为参数，θ≠kπ2，k∈Z).将参数方程化为普通方程的方法[探究问题]1．下面将参数方程x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)，化成普通方程的过程是否正确？为什么？解：由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝1－2t，得y＝－2x＋3.这是一条过点(0,3)，且斜率为－2的直线．[提示]解析过程不正确，因为没有考虑x是有范围的，即x＝t＋1≥1.2．将参数方程化成普通方程应注意什么？怎么来做？[提示]将参数方程化成普通方程，应注意，消参过程中要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的；消参前必须是根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的值域，从而得到x，y的取值范围．3．把参数方程化为普通方程时，常用哪些方法？[提示]消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．【例2】将下列参数方程化成普通方程，并说明方程表示的曲线．(1)x＝1－3t，y＝4t(t为参数)；(2)x＝a2t＋1t，y＝b2t－1t(a，b为大于零的常数，t为参数)．[精彩点拨](1)可用代入法；(2)可用代数运算法．[尝试解答](1)由已知t＝1－x3，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．(2)∵x＝a2t＋1t，-4-∴t＞0时，x∈[a，＋∞)，t＜0时，x∈(－∞，－a]．由x＝a2t＋1t，两边平方可得x2＝a24t2＋2＋1t2，①由y＝b2t－1t两边平方可得y2＝b24t2－2＋1t2，②①－②并化简，得x2a2－y2b2＝1，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．将不含三角函数的参数方程化成普通方程时，若两个方程中其中一个可以解出参数t，则用代入法消参，否则用代数运算法消参．2．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．(1)x＝－4t2，y＝t＋1(t≥0，t为参数)；(2)x＝a1－t21＋t2，y＝2bt1＋t2(t是参数且a＞b＞0)．[解](1)x＝－4t2，①y＝t＋1，②由②解得t＝y－1，代入①中，得x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－14x(y≥1)．方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分．(2)由已知可得-5-xa＝1－t21＋t2，①yb＝2t1＋t2，②①2＋②2得x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆(去掉左顶点)．【例3】将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．(1)x＝1＋4cost，y＝－2＋4sint(t为参数，0≤t≤π)；(2)x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)．[精彩点拨](1)利用sin2t＋cos2t＝1消参；(2)cos2θ＝1－2sin2θ消参．[尝试解答](1)∵0≤t≤π，－1≤cost≤1，0≤sint≤1.∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16.∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．(2)由y＝－1＋cos2θ，可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ，可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段．对于含有三角函数的参数方程化成普通方程问题，常联想三角恒等式，利用三角变换消去参数，而得到其普通方程，但应注意x，y的取值范围．3．已知某条曲线C的参数方程为x＝1＋2t，y＝at2(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．-6-[解](1)由题意，可知1＋2t＝5，at2＝4，故t＝2，a＝1，所以a＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为x＝1＋2t，y＝t2，由第一个方程，得t＝x－12，代入第二个方程，得y＝x－122，即(x－1)2＝4y为所求．1．曲线x＝2cosθ－1，y＝2sinθ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为()A．y＝0B．x＋y＝0C．x－y＝0D．2x＋y＝0[解析]曲线x＝2cosθ－1，y＝2sinθ＋2(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D．[答案]D2．与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为()A.x＝sint，y＝cos2t(t为参数)B．x＝cost，y＝sin2t(t为参数)C.x＝1－t，y＝t(t为参数)D．x＝tant，y＝1－tan2t(t为参数)[解析]A化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]．B化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]．C化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]．D化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－∞，1]．-7-[答案]D3．若曲线x＝1＋cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)，则点(x，y)的轨迹是________．[解析]x＝1＋cos2θ＝1＋(1－2sin2θ)＝2－2y，∴x＋2y－2＝0.又∵x＝1＋cos2θ∈[0,2]，y＝sin2θ∈[0,1]．∴点(x，y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．[答案]以(2,0)和(0,1)为端点的线段4．参数方程x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)化成普通方程为________．[解析]∵x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，∴x＝cosα，①y－1＝sinα，②(α为参数)．①2＋②2得x2＋(y－1)2＝1，此即为所求普通方程．[答案]x2＋(y－1)2＝15．指出下列参数方程表示什么曲线．(1)x＝3cosθ，y＝3sinθ(0≤θ≤π)；(2)x＝2cost，y＝3sint(π≤t≤2π)．[解](1)由x＝3cosθ，y＝3sinθ，得x2＋y2＝9.又∵0≤θ≤π.∴－3≤x≤3,0≤y≤3.∴所求方程为x2＋y2＝9(0≤y≤3)．这是一个半圆(圆x2＋y2＝9在x轴上方的部分)．(2)由x＝2cost，y＝3sint，得x24＋y29＝1.∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－3≤y≤0.∴所求方程为x24＋y29＝1(－3≤y≤0)．它表示半个椭圆(椭圆x24＋y29＝1在x轴下方的部分)．-8-