2019-2020学年高中数学 第2章 概率 1 离散型随机变量及其分布列（第2课时）离散型随机变量

-1-第2课时离散型随机变量及其分布列学习目标核心素养1.了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点)2．掌握离散型随机变量分布列的求法．(难点)通过对离散型随机变量及其分布列的学习，培养“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1．离散型随机变量随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．思考：判断一个随机变量是离散型随机变量的关键是什么？[提示]判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．2．离散型随机变量X的分布列(1)定义：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，①或把①式列成如下表格：X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…上述表格或①式称为离散型随机变量X的分布列．如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为：X～a1a2…p1p2….(2)性质：在离散型随机变量X的分布列中．①pi0；②p1＋p2＋…＝1.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()-2-(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()[答案](1)×(2)√(3)×2．下列变量中，是离散型随机变量的是()A．到2019年5月1日止，我国被确诊的爱滋病人数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数[答案]D3．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y()A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．可能是定值D．一定是离散型随机变量[答案]D离散型随机变量的判定【例1】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.[解](1)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．“三步法”判定离散型随机变量1依据具体情境分析变量是否为随机变量.2由条件求解随机变量的值域.3判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.-3-1．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．[解](1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球，2个黑球取得2个白球，1个黑球取得3个白球(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列【例2】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．[解]随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C36，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C11C23，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C11C24，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C11C25.从而有P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X3456P12032031012求离散型随机变量分布列的一般步骤：-4-1确定X的所有可能取值xii＝1，2，…以及每个取值所表示的意义；2利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率PX＝xi＝pii＝1，2，…；3写出分布列；4根据分布列的性质对结果进行检验.2．在射击的试验中，令X＝1，射中，0，未射中，如果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列．[解]由P(X＝1)＝0.8，得P(X＝0)＝0.2.所以X的分布列为：X＝xi10P(X＝xi)0.80.2离散型随机变量分布列的性质及应用[探究问题]1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ－101P121－2qq2能否求出q的值？[提示]由分布列的性质得，1－2q≥0，q2≥0，12＋(1－2q)＋q2＝1，∴q＝1－22.2．上述问题中，请求出P(ξ0)，P(ξ≤0)的值．[提示]P(ξ0)＝P(ξ＝－1)＝12，P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝12＋1－21－22＝2－12.【例3】设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ia(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P12X72.思路探究：先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，12X72的含义，利用分布列求-5-概率．[解](1)∵i＝14pi＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.(2)由a＝10，可得P12X72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝110＋210＋310＝35.1．利用离散型随机变量分布列的性质，(1)可以求随机变量取值的概率；(2)可以检验所求分布列是否正确．2．分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此在求随机变量在某一范围内取值的概率时，可先确定随机变量可取哪几个值，再利用概率的加法公式求其概率．3．设随机变量X的分布列为PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P110X710.[解]题目所给随机变量X的分布列为：X＝i152535451P(X＝i)a2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.-6-(2)法一：PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝15＋415＋13＝45.法二：PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋215＝45.(3)因为110X710，所以P110X710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋15＝25.1．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率.1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a13i，i＝1,2,3，则a的值为()A．1B．913C．2713D．1113C[由分布列的性质可知：a13＋19＋127＝1，解得a＝2713.]2．若随机变量X的分布列如下，则m的值是()X123P1316mA．13B．12C．16D．14B[由分布列性质得13＋16＋m＝1，∴m＝12.]3．下列变量中是离散型随机变量的是________．①连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；-7-②将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X；③某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差X.①②[判断一个变量是否是离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．③中X取值为某一范围实数，无法列出，为连续型随机变量．]4．随机变量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________.00.55[由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.]5．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的分布列及P(X1)．[解]依题意，有P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝12P(X＝2)．由分布列的性质得：1＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝72P(X＝2)，所以P(X＝2)＝27，所以X的分布列如下：X123P472717故P(X1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝37.