2019-2020学年高中数学 第2章 概率章末复习课学案 北师大版选修2-3

-1-第2章概率条件概率【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝nAnΩ＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝nABnΩ＝620＝310.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝PABPA＝31035＝12.-2-法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝nABnA＝612＝12.条件概率的两个求解策略1定义法：计算PA，PB，PAB，利用PA|B＝PABPB或PB|A＝PABPA求解.2缩小样本空间法直接法：利用PB|A＝nABnA求解.其中2常用于古典概型的概率计算问题.1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A．1127B．1124C．827D．924C[设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.]2．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．[解]设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.法一：P(A|B)＝PABPB＝336636＝12.法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.从而P(A|B)＝nABnB＝36＝12.-3-超几何分布【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．[解](1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝Ck6C3－k4C310(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为X0123P1303101216(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.超几何分布的求解步骤1辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.2算概率：可以直接借助公式PX＝k＝CkMCn－kN－MCnN求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.3列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.3．设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[解]ξ的可能取值为0,1,2,3.ξ＝0表示取出的5件产品全是正品，P(ξ＝0)＝C03C57C510＝21252＝112；-4-ξ＝1表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品，P(ξ＝1)＝C13C47C510＝105252＝512；ξ＝2表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品，P(ξ＝2)＝C23C37C510＝105252＝512；ξ＝3表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品，P(ξ＝3)＝C33C27C510＝21252＝112.故ξ的分布列为ξ0123P112512512112独立事件【例3】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．[解]记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2BC，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2BC)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2BC)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．P(X＝1)＝P(BA0C＋BA0C＋BA1C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)·P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解.-5-4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．[解]记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A，B相互独立且P(A)＝45，P(B)＝34.(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝45×34＝35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－15×14＝1920.二项分布问题【例4】抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列．[解]由题意可知，点P的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x2＋y2＝16内的有点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为836＝29.由题意可知X～B3，29，所以P(X＝0)＝C03290×793＝343729，P(X＝1)＝C13291×792＝98243，P(X＝2)＝C23292×791＝28243，P(X＝3)＝C33293×790＝8729，故X的分布列为X0123P34372998243282438729-6-解决二项分布问题的两个关注点1对于公式PX＝k＝Cknpk1－pn－kk＝0，1，2，…，n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.5．某人投篮一次投进的概率为23，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为6，23的二项分布，记为ξ～B6，23，计算P(ξ＝2)＝()A．20243B．8243C．4729D．427A[根据二项分布概率的计算公式可得，P(ξ＝2)＝C262321－234＝20243，故选A.]离散型随机变量的均值与方差【例5】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．[解]由题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝1020＝12，P(ξ＝1)＝120，P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝320，P(ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为ξ01234P1212011032015所以E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.-7-求离散型随机变量的均值、方差的步骤1明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果.2求出随机变量取各个值的概率.3列出分布列.4利用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的期望EX.5代入公式DX＝x1－EX2p1＋x2－EX2p2＋…＋xi－EX2·pi＋…＋xn－EX2pn求出方差DX.6代入公式σX＝DX求出随机变量的标准差σ.6．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值和方差．[解]乙投篮的次数ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝13×13＝19；P(ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P(ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为ξ012P1971812Eξ＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，Dξ＝0－25182×19＋1－25182×718＋2－25182×12＝149324.正态分布【例6】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数少于900的概率为P0，求P0的值．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)＝0.683，P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.997.-8-[解]由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700X900)＝0.954.由正态分布的对称性，可得P0＝P(X900)＝P(X≤800)＋P(800X900)＝12＋12P(700X900)＝0.977.正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向μ－σ，μ＋σ，μ－2σ，μ＋2σ，μ－3σ，μ＋3σ这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想7．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，某密度函数图像如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500元之间的人数百分比．[解]设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图像可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为P(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2＝15002πe－x－800022×5002，x∈(－∞，＋∞)．(2)∵P(7500ξ≤8500)＝P(8000－500ξ≤8000＋500)＝0.683，∴P(8000ξ≤8500)＝12P(7500ξ≤8500)＝0.3415.∴此地农民工年均收入在8000～8500元之间的人数百分比为34.15%.