2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2 超几何分布学案 北师大版选修2-3

-1-§2超几何分布学习目标核心素养1.理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)通过对超几何分布的学习，培养“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式X＝k012…k…P(X＝k)C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNC2MCn－2N－MCnN…CkMCn－kN－MCnN…思考：如何正确理解超几何分布？[提示]在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M．()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()[答案]1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率-2-为()A.C380C610C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100D[设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C680C420C10100.]利用超几何分布求概率【例1】一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．[解](1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C13C12C11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝620＝310.(2)由题意知X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝C33C36＝120，P(X＝1)＝C13C23C36＝920，P(X＝2)＝C23C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120，所以X的分布列为：X0123P120920920120解决超几何分布问题的两个关键点1超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.2超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同值k时的概率PX＝k，从而求出X的分布列-3-1．高二(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[解]若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．由公式得P(X＝4)＝C410C5－420C530＝70023751≈0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.超几何分布的应用[探究问题]1．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．[提示]从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求的分布列为X5678P435183512351352.在上述问题中，求得分大于6分的概率．[提示]根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.【例2】交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)畅通；T∈[2,4)基本畅通；T∈[4,6)轻度拥堵；T∈[6,8)中度拥堵；T∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：-4-(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．思路探究：(1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X取各个值时的概率，再列出分布列．[解](1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X＝0)＝C010C310C320＝219；P(X＝1)＝C110C210C320＝1538；P(X＝2)＝C210C110C320＝1538；P(X＝3)＝C310C010C320＝219.所以X的分布列为X0123P219153815382191．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．2．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．-5-[解]ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝C11C15＝15，P(ξ＝2)＝C14C11C15C14＝15，P(ξ＝3)＝C14C13C11C15C14C13＝15，P(ξ＝4)＝C14C13C12C11C15C14C13C12＝15，P(ξ＝5)＝C14C13C12C11C11C15C14C13C12C11＝15.因此ξ的分布列为ξ12345P1515151515由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋15＋15＝35.1．超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN①(k≤l，l是n和M中较小的一个)．2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列.1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.3742B.1742C.1021D.1721C[根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝C14C25C39＝1021.]2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝()A.421B.921C.621D.521D[P(X＝3)＝C35C15C410＝521.]3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.-6-35[X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝C13C12C25＝35.]4．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)C35C110C415[设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝k)＝Ck5C4－k10C415(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝3)＝C35C110C415.]5．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列．[解]X可能取的值为0,1,2.由题意知，X服从超几何分布，所以P(X＝0)＝C02·C33C35＝110；P(X＝1)＝C12·C23C35＝35；P(X＝2)＝C22·C13C35＝310.所以X的分布列为：X＝k012P(X＝k)11035310