2019-2020学年高中数学 第3章 导数应用 2 2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大值、

-1-2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题学习目标核心素养1．了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念．(难点)2．理解函数的最值与导数的关系．(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题．(难点)1．借助图像观察最值点从而得到最大值、最小值概念，提升了学生直观想象的核心素养.2．通过利用导数解决实际问题中的最值问题，培养学生的数学建模的核心素养.3.通过利用导数求简单函数的最值问题，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1．导数的实际意义在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．2．函数的最值与导数(1)最大值点与最小值点．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0)．(2)最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为最值．[提醒]函数的最大值与最小值可能在区间端点处取得，也可能在区间内部的极值点处取得．1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示()A．t＝1s时的速度B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移D．t＝1s的平均速度B[v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B.]-2-2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A[f′(x)＝2＋sinx0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]3．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1[答案]D4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为A.33B.1033C.1633D.2033D[设圆锥的高为xcm，体积为V(x)，则底面半径为202－x2cm，V(x)＝13πx(202－x2)(0x20)，∴V′(x)＝13π(400－3x2)，令V′(x)＝0，解得x＝2033.当0x2033时，V′(x)0；当2033x20时，V′(x)0，∴当x＝2033时，V(x)取得最大值．]导数在实际问题中的意义【例1】如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；-3-(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．思路探究：弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数．[解](1)当t从1s变到3s时，功W从W(1)＝11J变到W(3)＝21J，此时功W关于时间t的平均变化率为W3－W13－1＝21－113－1＝5(J/s)．它表示从t＝1s到t＝3s这段时间，这个人平均每秒做功5J.(2)根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16，于是，W′(1)＝7J/s，W′(2)＝4J/s.W′(1)和W′(2)分别表示t＝1s和t＝2s时，这个人每秒做的功分别为7J和4J.函数在某处的导数的实际意义1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．2．导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．1．已知某商品生产成本c与产量q(0q200)的函数关系为c＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系为p＝25－18q，求利润L关于产量q的关系式，用L＝f(q)表示，并计算f′(80)的值，解释其实际意义．[解]∵f(q)＝p×q－c＝25－18q×q－(100＋4q)，∴f(q)＝－18q2＋21q－100(0q200)，∴f′(q)＝－14q＋21，∴f′(80)＝－14×80＋21＝1．说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1．求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．-4-思路探究：(1)先求函数的导数，由导数的几何意义求曲线的切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，然后求出函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．[解](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈0，π2时，h′(x)0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减．所以对任意x∈0，π2有h(x)h(0)＝0，即f′(x)0.所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.求函数最值的三点注意求闭区间上连续函数的最值除熟练掌握基本步骤外，还应注意以下几点：(1)对函数准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点的函数值；(3)比较极值与端点的函数值大小时，有时用作差法来比较大小．2．求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2,3]上的最大值与最小值．[解]∵f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得2x2＋x－6＝0，∴x＝－2或32.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如表所示：x－2－2，323232，33f′(x)0－0＋＋f(x)57↘－1154↗32∴f(x)在x＝32处取极小值，且f32＝－1154.又∵f(－2)＝57，f(3)＝32，∴f(x)的最大值为f(－2)＝57，-5-f(x)的最小值为f32＝－1154.最值问题的实际应用【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思路探究：(1)根据x＝5时，y＝11求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2．(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增↗极大值42单调递减↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42．故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．-6-3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[解]每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)，由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.与最值有关的恒成立问题[探究问题]1．已知函数f(x)＝ax2＋2lnx，若当a0时，f(x)≥2恒成立，如何求实数a的取值范围？[提示]由f(x)＝ax2＋2lnx得f′(x)＝2x2－ax3，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a0，令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a.当0xa时，f′(x)0；当xa时，f′(x)0.故x＝a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a)＝lna＋1．要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.故a的取值范围为[e，＋∞)．2．函数最值和“恒成立”问题有什么联系？[提示]解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．如f(x)0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．【例4】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．-7-思路探究：(1)由f′(1)＝0且f′(2)＝0可以解得a，b的值；(2)先求出函数f(x)在[0,3]上的最值，把恒成立问题转化为最值问题解决．[解](1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0，解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，所以9＋8cc2，解得c－1或c9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．1．若本例中“x∈[0,3]”变为“x∈(0,3)”仍有f(x)c2成立，求c的取值范围．[解]由本例解析知f(x)f(3)＝9＋8c，所以9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，所以c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．2．本例中，把“f(x)c2”改为“f(x)c2”，求c的取值