2019-2020学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 1 1.2 椭圆的简单性质学案 北师大版选修

-1-1.2椭圆的简单性质学习目标：1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点)2.掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点)3.用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点)椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0＜e＜1)思考：(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上到中心和焦点距离最近和最远的点分别在什么位置？(2)如何判断点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的位置关系？[提示](1)短轴端点B1和B2到中心O的距离最近为a－c；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远为a＋c.(2)点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在-2-椭圆内部⇔x20a2＋y20b2＜1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2＞1.1.判断正误(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[答案](1)×(2)√(3)√2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5，3，45B．10，6，45C．5，3，35D．10，6，35B[变形x29＋y225＝1，∵焦点在y轴上，∴a＝5，b＝3，∴长轴长10，短轴长6，e＝45.]3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1B.x216＋y236＝1C.x26＋y24＝1D.y26＋x24＝1A[设椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∴a＋b＝102c＝45a2＝b2＋c2⇒a＝6，b＝4，∴椭圆方程x236＋y216＝1.]4．若焦点在y轴上的椭圆x2m＋y22＝1的离心率为12，则m的值为________．32[∵焦点在y轴上，∴0m2，e＝2－m2＝12.解得m＝32.]椭圆的几何性质【例1】(1)椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0＜k＜9)的()-3-A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等(2)已知椭圆的标准方程为x2100＋y264＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为()A．[6，10]B．[6，8]C．[8，10]D．[16，20](1)D(2)C[(1)椭圆x225＋y29＝1中c21＝25－9＝16，椭圆x29－k＋y225－k＝1中c22＝25－k－(9－k)＝16，∴两椭圆焦距相等．(2)设P(x0，y0)，则|OP|＝x20＋y20.由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，又∵P在椭圆上，∴x20100＋y2064＝1，∴y20＝64－1625x20，∴|OP|＝925x20＋64.∵0≤x20≤100，∴64≤925x20＋64≤100，∴8≤|OP|≤10.]用标准方程研究几何性质的步骤1．(1)已知点(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是()A．(－x0，y0)B．(x0，－y0)C．(－x0，－y0)D．(y0，x0)(2)求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．-4-(1)D[由椭圆的对称性可知，选项A，B，C中的点一定在椭圆上．](2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m0)可转化为x21m2＋y214m2＝1.∵m24m2，∴1m214m2，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝1m，短半轴长b＝12m，半焦距长c＝32m.∴椭圆的长轴长2a＝2m，短轴长2b＝1m，焦点坐标为－32m，0，32m，0，顶点坐标为1m，0，－1m，0，0，－12m，0，12m.离心率e＝ca＝32m1m＝32.由椭圆简单性质求方程【例2】(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为()A.x2144＋y2128＝1或x2128＋y2144＝1B.x26＋y24＝1C.x236＋y232＝1或x232＋y236＝1D.x24＋y26＝1或x26＋y24＝1(2)如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．(1)C[由条件知a＝6，e＝ca＝13，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.](2)解：依题意，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，-5-又B1F⊥B2F，∴△B1FB2为等腰直角三角形，∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝10－5，即a－c＝10－5，且a2＝b2＋c2，将以上三式联立，得b＝ca－c＝10－5，a2＝b2＋c2，解得a＝10，b＝5.∴所求椭圆方程为x210＋y25＝1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；(3)写出标准方程．提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e＝23，短轴长为85.[解](1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是y264＋x248＝1.(2)由e＝ca＝23得c＝23a，又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为x2144＋y280＝1或x280＋y2144＝1.求椭圆的离心率[探究问题]-6-1．在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中，用a，b如何表示离心率e?[提示]e＝1－b2a2.2．如何刻画椭圆的扁平程度？椭圆的扁平程度与椭圆位置有关吗？[提示](1)椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以ba＝1－e2，因此，当e越趋近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．(2)椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关．【例3】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．[思路探究](1)利用正三角形的性质及椭圆的定义建立a，c的关系；(2)可利用kPF2＝kAB以及a2＝c2＋b2来建立a，c的关系．33[(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝2c2a＝3x3x＝33.](2)解：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，∴P－c，b2a.又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB，∴b2－2ac＝－ba，即b＝2c.∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴c2a2＝15.∴e2＝15，即e＝55，所以椭圆的离心率为55.-7-1.(变条件)将本例(1)中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？[解]如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2B⊥BF1，又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝3c.根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋3c＝2a，所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率为e＝3－1.2.(变条件)若本例(2)的条件“PF1⊥x轴，PF2∥AB”换为“|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为12c2，3c2”，求椭圆离心率的取值范围．[解]∵P是椭圆上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a.∴2a＝|PF1|＋|PF2|≥2|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|≤a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．∴12c2≤a2≤3c2，∴13≤c2a2≤2，∴13≤e2≤2.∵0＜e＜1，∴33≤e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是33，1.求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为a，b，c的方程或不等式，再求解．(1)若已知a，c可直接代入e＝ca求得；(2)若已知a，b，则使用e＝1－b2a2求解；(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)求解；(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．(5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a，b，c的关系，再列方程(不等式)求解．-8-提醒：由于a，b，c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解．1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±3，0)B．(0，±3)C．(±5，0)D．(0，±5)A[直线x＋2y＝2与坐标轴的交点(2，0)与(0，1)为椭圆的顶点，∴a＝2，b＝1，∴c＝a2－b2＝3.∴椭圆的焦点坐标是(±3，0)．]2．已知椭圆C1：x212＋y24＝1，C2：x216＋y28＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等D[由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42，故选D.]3．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1B4．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为________．2－1[建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则A(－1，0)，B(1，0)，C(1，2)，|AC|＝22.依椭圆的定义知2a＝|AC|＋|BC|＝22＋2，a＝2＋1，又c＝1，则e＝ca＝12＋1＝2－1.]5．已知椭圆的中心在原点，