2019-2020学年高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入 1 1.1 数的概念的扩展 1.2

-1-1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念学习目标核心素养1．了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点)3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点)4．理解复数的几何意义．(难点)1．借助数集由实数集到复数集的扩展，提升学生的数学想象的核心素养．2．通过复数的分类、复数相等及几何意义的学习，培养学生的数学运算和逻辑推理的核心素养.1．复数的有关概念及分类(1)复数的有关概念①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位．a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(2)复数集①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C表示．(3)复数的分类及包含关系①复数a＋bi，a，b∈R实数b＝0，虚数b≠0纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.②集合表示：2．复数的性质(1)两个复数相等-2-a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c，且b＝d.(2)复数的几何意义①复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→＝(a，b)．(3)复数的模设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝a2＋b2.思考：虚数为什么不能比较大小？[提示]引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i0，则2ii，两边同乘i，得2i2i2，即－2－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i0，则－2－1⇒－2i－i⇒－2i·i－i·i⇒21，与实数系中数的大小规定也是相矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．1．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1或0B．1C．0D．以上都不对C[由条件知x2－x＝0，x－1≠0，所以x＝0.]2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为()A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A[∵(x＋y)i＝x－1，∴x＋y＝0，x－1＝0，∴x＝1，y＝－1．]3．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4,2－3i，－12＋43i,5＋2i,6i.[解]4,2－3i，－12＋43i,5＋2i,6i的实部分别是4,2，－12，5,0；虚部分别是0，－3，43，2，6；4是实数；2－3i，－12＋43i,5＋2i,6i是虚数；6i是纯虚数．复数的概念与分类-3-【例1】(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．－1B．1C．±1D．－1或－2(2)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．(3)当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为：①实数？②虚数？③纯虚数？思路探究：依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解．(1)B(2)±1[(1)∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴x2－1＝0，x2＋3x＋2≠0.由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1．(2)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1．](3)[解]①当m2－2m＝0，m≠0，即m＝2时，复数z是实数．②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．③当m2＋m－6m＝0，m2－2m≠0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．利用复数的分类求参数的几个环节利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.1．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a0且a＝－bC．a0且a≠bD．a0且a＝±bD[要使复数z为纯虚数，则a2－b2＝0，a＋|a|≠0，∴a0，a＝±b.故选D.]复数相等【例2】(1)下列命题：①若a＋bi＝0，则a＝b＝0；-4-②x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)已知x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求x，y.思路探究：根据复数相等的充要条件求解．(1)B[命题①②中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y∈R，从而y2－1，－(y－1)是实数，根据复数相等的条件得y2－1＝0，－y－1＝0，∴y＝1，故③正确．](2)[解]因为x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数，所以由复数相等的条件得x＋2y－1＝10，x－3y＋4＝－5，解得x＝3，y＝4.所以x＝3，y＝4.利用复数相等解题的基本思路1．复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2⇔a＝c且b＝d.2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：①等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；③解方程组，求出相应的参数．2．(1)若(x－y)＋(2x－3)i＝(3x＋y)＋(x＋2y)i(其中x，y为实数)，则x＝________，y＝________.(2)已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，则xy＝________.(1)1－1(2)－2[(1)由复数相等的意义得x－y＝3x＋y，2x－3＝x＋2y，所以x＝1，y＝－1.(2)由复数相等的意义，得-5-2x＋8y＝14，x－6y＝－13，解得x＝－1，y＝2.所以xy＝－2．]复数的几何意义[探究问题]1．若向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ→2对应的复数是－5＋4i，如何求OZ→1＋OZ→2对应的复数？[提示]因为向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ→2对应的复数是－5＋4i，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ→2＝(－5,4)，所以OZ→1＋OZ→2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ→1＋OZ→2对应的复数是0.2．若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？[提示]a满足a＋1＞0，a－1＜0，即－1＜a＜1．【例3】(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是()A．－3B.3iC．±3iD．±3(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－12－2i的模，并比较它们模的大小．思路探究：(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．(2)用求模的公式直接计算．(1)D[设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±3，选D.](2)[解]因为z1＝6＋8i，z2＝－12－2i，所以|z1|＝62＋82＝10，|z2|＝－122＋－22＝32.因为1032，所以|z1||z2|.复数的几何意义1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间为一一对应关系，每一个复数都对应着一-6-个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．3．(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________．(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|4，求实数a的取值范围．(1)－6－8i[因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，所以OA→＝(4,3)，OB→＝(－2，－5)，又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i.](2)[解]∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝32＋a2，由已知得32＋a24，∴a27，∴a∈(－7，7)．1．数系逐步扩充的过程计数的需要⇒自然数(正整数和零)表示相反意义的量如解方程x＋3＝1⇒负数测量、分配中的等分如解方程3x＝5⇒分数(分数集⇔有理数集⇔循环小数集)度量如解方程x2＝2⇒无理数(无理数集⇔无限不循环小数集)负数的开方如解方程x2＝－1⇒复数．2．复数的代数形式a＋bi中，a，b是实数，实部为a，虚部是b，而非bi，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.3．复平面内的点与复数的关系位置复数实轴上的点实数虚轴(原点除外)上的点纯虚数各象限的点虚数4.复数的模表示该复数在复平面内对应点与原点的距离，即复数的模是绝对值概念，由实数的一维空间向二维空间的一种推广．-7-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．()(3)bi是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．已知复数z＝2－3i，则复数的模|z|等于()A．5B．8C．6D．11D[|z|＝22＋－32＝11.]3．下列命题正确的是__________(填序号)．①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．③[①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．(3，＋∞)[∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴x－2＞0，3－x＜0，解得x＞3.]5．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．[解]z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.(1)令m2－m－6＝0⇒m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．(3)由m2＋3m＋2＝0，m2－m－6≠0，解得m＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．-8-