2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.5.2 简单线性规划学案 新人教B版必修5

-1-3.5.2简单线性规划学习目标核心素养1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数．(重点)2．理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)3．理解目标函数的最大、最小值与其对应直线的截距的关系．(易混点)1.通过线性规划中的基本概念的学习，考查学生的数学抽象素养．2．通过目标函数最值的研究，培养学生的逻辑推理素养．3．借助线性规划解决实际问题的学习，提升学生的数学建模素养.1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或等式)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2．线性目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，它表示斜率为－ab，在y轴上的截距是zb的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．-2-1．已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，x＋1≥0，则z＝x＋2y的最小值为()A．3B．1C．－5D．－6C[由约束条件作出可行域如图：由z＝x＋2y得y＝－12x＋z2，z2的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－12x＋z2过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C．]2．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为________．1[根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]3．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．2300[设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，-3-则5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N，y∈N.目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域(图略)，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．]线性目标函数的最值问题【例1】若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2[思路探究]解决线性目标函数的最值问题一般用图解法．因此要求作图要准确、规范，且要弄清楚函数值与直线截距的内在联系．对于已知最值求参数这一逆向问题也同正向处理方式类似，需要自己先表示出目标函数的最值，再与已知提供的最值进行对应．C[作出可行域如图中阴影部分所示．由x－my＋1＝0，2x－y－3＝0，得A1＋3m－1＋2m，5－1＋2m，平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取得最大值，即1＋3m－1＋2m＋5－1＋2m＝9，解得m＝1.]1．解二元线性规划问题的一般步骤-4-(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；(4)答：给出正确答案．2．一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．1．已知x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.求z＝3x＋5y的最大值和最小值．[解]由不等式组5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3作出可行域，如图所示．∵目标函数为z＝3x＋5y，∴作直线l：3x＋5y＝0.平移直线l，在可行域内以经过点A32，52的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z最小．∴zmax＝3×32＋5×52＝17，zmin＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.非线性目标函数的最值问题【例2】已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的取值范围．-5-[解](1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故|MN|＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322.∴|MN|2＝3222＝92，∴z的最小值为92.(2)z＝2·y－－12x－－1表示可行域内点(x，y)与定点Q－1，－12连线斜率的2倍，∵kQA＝74，kQB＝38，∴z的取值范围是34，72.1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．2．非线性目标函数的最值的求解策略(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．(2)z＝y－bx－a型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍．2．如果点P在平面区域2x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，2y－1≥0上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值．-6-[解]画出不等式组2x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，2y－1≥0所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P在点A0，12，点Q在点B(0，－1)时，|PQ|取得最小值为32.利用线性规划解决实际问题[探究问题]某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．1．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x，y万元，那么x，y应满足什么条件？[提示]x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5.2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？[提示]根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.3．x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？[提示]x，y必须在线性约束条件x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．【例3】某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，-7-有9名驾驶员，在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360t土的任务．已知每辆往返的次数为：A型卡车8次，B型卡车6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？[思路探究]首先列出线性约束条件及目标函数，然后转化为线性规划问题．因为涉及该问题中卡车的数量均为整数，因此用“网格法”探求出可行域中的所有整点，再寻求最优解．[解]设每天出动的A型卡车数为x，则0≤x≤7；每天出动的B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x＋y≤9，每天要完成的搬运任务为48x＋60y≥360，每天公司所花成本费用为z＝160x＋252y.本题即求满足不等式组0≤x≤7，0≤y≤4，x＋y≤9，48x＋60y≥360，且使z＝160x＋252y取得最小值的非负整数x与y的值．不等式组表示的平面区域即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD区域(含边界线段)，它的顶点是A52，4，B7，25，C(7,2)，D(5,4)．结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10个点．作直线l：160x＋252y＝0.使l向上方平行移动，可发现它与上述的10个点最先接触到的点是P4(5,2)，得到的z的值最小，zmin＝160×5＋252×2＝1304.即当公司每天出动A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司的成本费用最低．解答线性规划应用题的一般步骤：-8-(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．3．某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300min的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？[解]设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为xmin和ymin，总收益为z元．由题意，得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0，目标函数z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z＝3000x＋2000y过点M时，z最大．由x＋y＝300，5x＋2y＝900得M(100,200)．所以zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元)＝70(万元)．-9-所以该公司在甲电视台做100min广告，在乙电视台做200min广告，公司收益最大，最大值为70万元．1．本节课的重点是求线性目标函数的最值及已知目标函数的最值求参数问题．难点是非线性目标函数最值的求法及已知目标函数的最值求参数问题．2．本节课要重点掌握的规律方法：(1)用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：①在平面直角坐标系内作出可行域．②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．③确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．(2)逆用目标函数的最值求参数．3．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区