2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列（第2课时）等差数列的性质学案 新人教

-1-第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)．1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．思考：由上式可得d＝an－a1n－1，d＝an－amn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？[提示]等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝an－a1n－1，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝an－amn－m.2．等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){an}的公差为d，则d0⇔{an}为递增数列；-2-d0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？[提示]不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于()A．5B．8C．10D．14C[a1＋a7＝a3＋a5＝10.]2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2B．20C．100D．不确定A[∵a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________．33[由题意得d＝a8－a58－5＝15－68－5＝3.∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．15[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15.]灵活的设元解等差数列【例1】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[解]法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＋（a1＋3d）＝26，（a1＋d）（a1＋2d）＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3或a1＝11，d＝－3，-3-∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，（a－d）（a＋d）＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．[解]设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5，（a－2d）2＋（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＋（a＋2d）2＝859，整理得5a＝5，5a2＋10d2＝859.解得a＝1，d＝±23.当d＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.-4-等差数列的实际应用【例2】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲乙请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列．[解]由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1，d1＝0.2，得a2＝1.2；由b1＝30，b6＝10，得b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30，d2＝－4，得b2＝26.∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．-5-2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．23.2[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]等差数列的性质[探究问题]1．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？[提示]由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于任意等差数列{an}，设其公差为d.则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．2．在等差数列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反过来呢？[提示]若m＋n＝2r(m，n，r∈N*)，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常数列．3．已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？[提示](1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.【例3】已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.-6-思路探究：①选用哪条性质求解更为简便？②a15，a30，a45，a60，a75成等差数列吗？[解]法一：(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.法二：(利用首项与公差)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.a60＝a15＋45d，所以20＝8＋45d，所以d＝415，a75＝a15＋60d＝8＋60×415＝24.1．(变条件，变结论)本例中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.[解]法一：因为a5，a10，a15成等差数列，所以a5＋a15＝2a10.所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝125.所以a15＝a10＋5d＝20＋5×125＝32.2．本例中的条件变为“{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21”求a5＋b5的值．[解](1)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.-7-易错警示：对于新构造的等差数列，要注意判断其公差和首项．1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数