2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前n项

-1-第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.1．等比数列前n项和公式思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝a1（1－qn）1－q(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}-2-为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示]根据等比数列的定义，有：a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q，再由合比定理，则得a2＋a3＋a4＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q，即Sn－a1Sn－an＝q，进而可求Sn.1．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A．1－xn1－xB．1－xn－11－xC．1－xn1－x（x≠1），n（x＝1）D．1－xn－11－x（x≠1），n（x＝1）C[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，q＝x，Sn＝a1（1－xn）1－x＝1－xn1－x.]2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________．31[S5＝a1（1－q5）1－q＝1－251－2＝31.]3．数列12，24，38，416，…的前10项的和S10＝________．509256[S10＝12＋24＋38＋…＋929＋10210，则12S10＝14＋28＋…＋9210＋10211.两式相减得，12S10＝12＋14＋18＋…[phone]＝121－12101－12.