2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版

-1-1.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减思考：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定A[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()-2-D[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．(0，＋∞)[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]函数与导函数图象间的关系【例1】(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()-3-(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()(1)D(2)D[(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋b2内，导数单调递增；在区间a＋b2，b内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在a，a＋b2内越来越陡，在a＋b2，b内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．]研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．-4-1．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()C[当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]利用导数求函数的单调区间角度1不含参数的函数求单调区间【例2】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2·e－x；(3)f(x)＝x＋1x.[解](1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－2x，令f′(x)＝0，得x1＝33，x2＝－33(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：x0，333333，＋∞f′(x)－0＋f(x)↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为0，33，单调递增区间为33，＋∞.(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)-5-f′(x)－0＋0－f′(x)↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．角度2含参数的函数的单调区间【例3】讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的单调性．思路探究：求函数的定义域―→求f′x――――――→分a＞0，a＝0解不等式f′x＞0或f′x＜0―→表述fx的单调性[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－a＋1x.(1)当a＝0时，f′(x)＝x－1x，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．(2)当a＞0时，f′(x)＝ax＋a＋1ax－1x，∵a＞0，∴－a＋1a＜0.由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．-6-(2)求导数f′(x)．(3)由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.已知函数的单调性求参数的范围[探究问题]1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．思路探究：fx单调递增―→f′x≥0恒成立―→分离参数求a的范围[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.-7-1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．[解]由f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3，当－3a3＜x＜3a3时，f′(x)＜0.∴f(x)在－3a3，3a3上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．[解]由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴f′－1≤0f′1≤0，即3－a≤03－a≤0，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则-8-f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()C[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)D[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]3．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()-9-A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)B[函数y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1x＋1x，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．a＝1C．(－∞，1]D．(0,1)A[∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.]5．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．[解]函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－1x＝kx－1x.当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，即kx－1x＜0，解得0＜x＜1k；由f′(x)＞0，即kx－1x＞0，解得x＞1k.∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为0，1k，单调递增区间为1k，＋∞.综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为0，1k，单调递增区间为1k，＋∞.