2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习课学案 新人教A版选修2-2

-1-第3章数系的扩充与复数的引入复数的概念【例1】当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i，(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．[解](1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.(2)z为纯虚数，a2－2a＝0，a2－3a＋2≠0，即a＝0或a＝2，a≠1且a≠2.故a＝0.(3)z对应的点在第一象限，则a2－2a＞0，a2－3a＋2＞0，∴a＜0，或a＞2，a＜1，或a＞2，∴a＜0，或a＞2.∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2.-2-处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2(2)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(1)A(2)D[(1)因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.(2)因为a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－103＋i10＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.]复数的几何意义【例2】(1)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若OC→＝2OA→＋OB→，则a＝________，b＝________.(1)C(2)－3－10[(2)∵OC→＝2OA→＋OB→，∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，即1＝4＋a，－4＝6＋b，∴a＝－3，b＝－10.]2．若i为虚数单位，如图所示的复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()-3-A．EB．FC．GD．HD[∵点Z(3,1)对应的复数为z，∴z＝3＋i，z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点．]复数的四则运算【例3】(1)已知z是z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝3＋2i()2＋i2，则z1z2等于()A．－4＋3iB．3＋4iC．3－4iD．4－3i(1)A(2)D[(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入z·zi＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件得，2a＝2，a2＋b2＝2b，∴a＝1，b＝1.∴z＝1＋i，故选A.(2)z1z2＝()2－3i()2＋i23＋2i＝()2－3i()3－2i()2＋i2()3＋2i()3－2i＝－13i()3＋4i13＝4－3i.]1．(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则zz＝__________.i[由例题解析知z＝1＋i，所以z＝1－i.-4-zz＝1＋i1－i＝i.]2．(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝__________.1625－6325i[z1z2＝()2－3i()3＋2i()2＋i2＝12－5i3＋4i＝()12－5i()3－4i()3＋4i()3－4i＝16－63i32＋42＝1625－6325i.]1复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似.2复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bia，b∈R的结构形式.3利用复数相等，可实现复数问题的实数化.转化与化归思想【例4】已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.又z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i为实数，∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．∴12＋4a－a2＞0，8a－2＞0.解得2a6.∴实数a的取值范围是(2,6)．一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yix，y∈R，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.-5-3．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.[解]设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴4a2＝4，a2＋b2＝2，∴a＝1b＝1，或a＝1，b＝－1，或a＝－1，b＝1，或a＝－1，b＝－1.∴x＝1＋i，y＝1－i，或x＝1－i，y＝1＋i，或x＝－1＋i，y＝－1－i，或x＝－1－i，y＝－1＋i.