2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算

-1-3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标核心素养1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)1．通过复数代数形式的加、减运算，培养学生的数学运算核心素养．2．通过复数加、减运算几何意义的学习，培养学生直观想象的核心素养.1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为OZ→1，OZ→2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ→与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1→与复数z1－z2对应．思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8iB[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋iB．1－iC．iD．－iA[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝()-2-A．0B．6iC．6D．6－6iD[∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.]4．已知向量OZ→1对应的复数为2－3i，向量OZ→2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2→对应的复数为________．1－i[Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]复数加减法的运算【例1】(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.(1)－2－i(2)2[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以5x－5y＝5，－3x＋4y＝－3，解得x＝1，y＝0，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝2.]复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________；(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(1)6＋i(2)－7＋7i(3)－11i[(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i.-3-(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]复数加减运算的几何意义【例2】(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，则|z1－z2|＝________.(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求：①AO→所表示的复数，BC→所表示的复数；②对角线CA→所表示的复数；③对角线OB→所表示的复数及OB→的长度．(1)2[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2.](2)[解]①AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.②∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB→＝OA→＋OC→，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|OB→|＝12＋62＝37.1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．-4-[解]设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则AD→＝OD→－OA→＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．BC→＝OC→－OB→＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD→＝BC→，∴x－1＝1，y－2＝－3，解得x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.复数模的最值问题[探究问题]1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？[提示]满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？[提示]∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．复数|z1－z2|的几何意义是什么？[提示]复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．【例3】(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B.12C．2D.5(2)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．(1)A[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2,|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.](2)[解]如图所示，|OM→|＝－32＋－12＝2.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.1．(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．[解]因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是32＋42＋1＝6.2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的-5-最小值．[解]因为|z|＝1且z∈C，作图，如图所示：所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1.|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.1.a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－iD[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i.]2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.5[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.]4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.－1[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴a2－a－2＝0，a2＋a－6≠0，解得a＝－1.]5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是OA→与OB→，其中O是原点，求向量OA→＋OB→，BA→对应的复数及A，B两点间的距离．-6-[解]向量OA→＋OB→对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA→＝OA→－OB→，∴向量BA→对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝－82＋－22＝217.