2019-2020学年高中数学 第3章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案 新人教

-1-3.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标核心素养1.了解随机误差、残差、残差图的概念．(重点)2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．(重点)3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)1.通过回归分析的学习，培养了学生数据分析的素养．2．借助回归模型的建立，培养学生数学建模、数据分析及数学运算的素养.1．回归分析的相关概念(1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)回归直线方程方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数，其最小二乘估计分别为：b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x，其中x＝1ni＝1nxi，y＝1ni＝1nyi，(x，y)称为样本点的中心．(3)线性回归模型线性回归模型为y＝bx＋a＋e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．思考：在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，e产生的原因主要有哪几种？[提示]随机误差产生的原因主要有以下几种：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差．-2-2．残差的概念对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为e^i＝yi－y^i＝yi－b^xi－a^，i＝1,2，…，n，e^i称为相应于点(xi，yi)的残差．3．刻画回归效果的方式残差图作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和残差平方和为i＝1n(yi－y^i)2，残差平方和越小，模型的拟合效果越好相关指数R2R2＝1－i＝1nyi－y^i2i＝1nyi－y2，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示模型的拟合效果越好1．在如图所示的四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()A．①②B．①③C．②③D．③④B[结合散点图可知①③中的散点大体分布在一条直线的左右两侧，故选B.]2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25-3-A[R2越大拟合效果越好，故选A.]3．已知回归直线方程为y^＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是()A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04C[当x＝2时，y^＝5；当x＝3时，y^＝7；当x＝4时，y^＝9，∴e^1＝4.9－5＝－0.1，e^2＝7.1－7＝0.1，e^3＝9.1－9＝0.1.∴i＝13e^2i＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03，故选C.]求线性回归方程【例1】某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．[解](1)如图：(2)i＝1nxiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，i＝1nx2i＝62＋82＋102＋122＝344，-4-b^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a^＝y－b^x＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，y^＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.求线性回归方程的基本步骤1．列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．2．计算：x，y，i＝1nx2i，i＝1ny2i，i＝1nxiyi.3．代入公式求出y^＝b^x＋a^中参数b^，a^的值．4．写出线性回归方程并对实际问题作出估计．提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．1．某种产品的广告费用支出x与销售额y(单元：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额．[解](1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i12345合计-5-xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x2i416253664145所以，x＝255＝5，y＝2505＝50，i＝15x2i＝145，i＝15xiyi＝1380.于是可得b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a^＝y－b^x＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为y^＝6.5x＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，y^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元.线性回归分析【例2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？(参考数据：i＝15x2i＝5101.56，i＝15y2i＝9511.43，i＝15xiyi＝6746.76)[解](1)散点图如下．-6-(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y^＝b^x＋a^.x－＝30.36，y－＝43.5，i＝15x2i＝5101.56，i＝15y2i＝9511.43.x－y－＝1320.66，x－2＝921.7296，i＝15xiyi＝6746.76.则b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2≈0.9445.