2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 新人教B版

-1-2．4.1抛物线的标准方程学习目标核心素养1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)1.通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养.1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？[提示]不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0)－p2，0x＝p2x2＝2py(p＞0)0，p2y＝－p2-2-x2＝－2py(p＞0)0，－p2y＝p2思考2：抛物线的标准方程y2＝2px(p0)中p的几何意义是什么？[提示]焦点到准线的距离．思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？[提示]一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为()A.18B．－18C．8D．－8B[由y＝ax2，得x2＝1ay，14a＝－2，a＝－18.]2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0)D．(1,0)D[∵y2＝4x，∴焦点F(1,0)．]3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[解](1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方-3-程为x2＝2py(p0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.[解](1)双曲线方程可化为x29－y216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p0)且－p2＝－3，∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝m＋p2.又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.抛物线定义的应用[探究问题]-4-1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？[提示]抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线.2．如何通过抛物线定义实现距离转化？[提示]根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？[提示]在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．【例2】若位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12.求点M的轨迹方程．[思路探究]把|MF|比M到y轴的距离大12，转化为|MF|与点M到x＝－12的距离相等，从而利用抛物线定义求解．[解]由于位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到F12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p0)的形式，而p2＝12，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．1．(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．[解]设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即x0－122＋y20＝4①，又由典例的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故y20＝2x0②，由①②可得x0＝32，y0＝3，或x0＝32，y0＝－3，故点N的坐标为32，3或32，－3.2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最-5-小值，并求出点M的坐标．[解]如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，最小值为3＋12＝72.这时点M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.与抛物线有关的应用问题【例3】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究]建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解．[解]如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝85，得x2＝－165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－165yA，得yA＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始不能通航．-6-涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解.2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20m，拱顶距水面6m，桥墩高出水面4m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18m，目前吃水线上部分中央船体高5m，宽16m，且该货船在现在状况下还可多装1000t货物，但每多装150t货物，船体吃水线就要上升0.04m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6m，桥墩高出水面4m，∴A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p0)，则102＝－2p(－2)，∴p＝25，∴抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5m，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28m,0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050t，而船最多还能装1000t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔.1．思考辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线x2＝－20y的焦点到准线的距离是10.()(3)抛物线y＝－2x2的准线方程是y＝18.()-7-[提示](1)×不一定．当F在l上时是过F且垂直于l的一条直线．(2)√(3)√2．若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)C[∵点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.]3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是aa＞p2，则点M的横坐标是()A．a＋p2B．a－p2C．a＋pD．a－pB[设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，过M作MN⊥l于Nl是抛物线的准线x＝－p2，连MF.根据抛物线定义，|MN|＝|MF|＝a，∴x0＋p2＝a，∴x0＝a－p2，∴选B.]4．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．52[y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋p2＝52.]