2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案

-1-3.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标核心素养1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、易混点)通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.1．空间向量的坐标表示空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．思考1：若a＝x1e1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？[提示]不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．2．空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b33.空间向量的平行、垂直及模、夹角(1)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则AB→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．-2-|AB→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝a·a|a|＝a21＋a22＋a23夹角cos〈a，b〉＝a·b|a||b|cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23思考2：若向量AB→＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？[提示]不一定．A点与原点重合是，不与原点重合则不是．1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为()A．3B．4C．5D．6C[∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.]2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)D[4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．]3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→的夹角为________．60°[∵AB→＝(0,3,3)，AC→＝(－1,1,0)，∴|AB→|＝32，|AC→|＝2，AB→·AC→＝3，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|，则θ＝120°.]-3-