2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用3.3.3 导数的实际应用学案 新人教B版选修1

-1-3.3.3导数的实际应用学习目标核心素养1.能利用导数解决实际问题．(重点)2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．(难点).通过利用导数解决实际问题的学习，培养学生的数学建模、数学运算素养.生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对B[设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x4时，y′0；当4x≤8时，y′0.所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[定义域为(0，＋∞)，令y′＝－x2＋81＝－(x＋9)(x－9)＝0得x＝9或x＝－9(舍)，当x∈(0,9)时，f′(x)＞0；当x∈(9，＋∞)时，f′(x)＜0.-2-∴x＝9为函数的极大值点也是最大值点，∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6cm3cm4cm[设底面宽为x，则长为2x，高为722x2＝36x2(0＜x＜6)，∴S表面积＝4x2＋54x，令S′＝8x3－27x2＝0得x＝3，当x∈(0,3)时，S′＜0；当x∈(3,6)时，S′＞0，∴x＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6cm，宽为3cm，高为4cm时可使表面积最小．]用料最省(成本最低)问题【例1】一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]列出燃料费与速度关系→确定参数k→每小时费用→确定1千米总费用→求导→利用导数确定最值→结论[解]设速度为每小时v千米的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例常数，当v＝10，p＝6，解得k＝6103＝0.006.于是有p＝0.006v3.设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需时间为1v小时，所以行1千米的总费用为q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v，q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.因为当v20时，q′0；当v20时，q′＞0，所以当v＝20时取得最小值．-3-即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′x＝0求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单元：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)设隔热层厚度为xm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.利润最大问题【例2】当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2x6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可-4-售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)[思路探究](1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x－2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．[解](1)当x＝4时，y＝21，代入函数关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y＝10x－2＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f(x)＝(x－2)·10x－2＋4x－62＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2x6)，所以f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2x6)．令f′(x)＝0，得x＝103或x＝6(舍去)．当x∈2，103时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈103，6时，f′(x)0，函数f(x)单调递减．所以x＝103是函数f(x)在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．1经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2关于利润问题常用的两个等量关系：①利润＝收入－成本.②利润＝每件产品的利润×销售件数.2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单-5-位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解](1)因为当x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗极大值42↘由上表可得x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.几何中的最值问题[探究问题]利用导数解决生活中的优化问题一般有哪些步骤？[提示]-6-【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．[思路探究]建立数学模型，列出函数关系式，利用导数求最值．[解](1)因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr33＋πr2l＝643π，解得l＝643r2－43r，所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr643r2－43r＝128π3r－8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2，所以y＝128π3r－8πr23×3＋4πr2×4＝128πr＋8πr2.又l＝643r2－43r＞0⇒r＜243，所以定义域为(0,243)．(2)因为y′＝－128πr2＋16πr＝16πr3－8r2，所以令y′＞0得2＜r＜243；-7-令y′＜0得0＜r＜2，所以当r＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l＝83.1．(改变问法)本题问题改为试求该容器表面积的最小值．[解]因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr33＋πr2l＝643π，解得l＝643r2－43r，所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr643r2－43r＝128π3r－8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2，故该容器的表面积y＝128π3r－8πr23＋4πr2＝128π3r＋4πr23，则y′＝－128π3r2＋8πr3＝8πr3－163r2，令y′＝0，解得r＝316，易知当r＝316时，表面积取得最小值，ymin＝16π·34.2．(变换条件)本题中若由于场地的限制，该容器的半径要限制在0，32范围内，求容器建造费用的最小值．[解]因为y′＝－128πr2＋16πr＝16πr3－8r2，所以令y′＞0得2＜r＜243；令y′＜0得0＜r＜2，故当r∈0，32时，函数单调递减，故当r＝32时，ymin＝310π3.1平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.-8-2立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(3)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．1．思考辨析(1)生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．()(2)解决应用问题的关键是建立数学模型．()(3)解决实际问题，其中就包括确定函数的定义域，在求定义域时，一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．()[提示](1)√(2)√(3)√2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为()A．33cmB．1033cmC．1633cmD．2033cmD[设高为h，则底面半径r＝400－h2(0＜h＜20)，∴体积V＝13πr2h＝π3(400h－h3)，令V′＝π3(400－3h2)＝0得h＝2033，当h∈0，2033时，V′＞0；当x∈2033，20时，V′＜0，∴h＝2033为函数的极大值点，即最大值点，即高为2033cm时，漏斗体积最大．]3．做