2019-2020学年高中数学 第4讲 用数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式举例学案

-1-二用数学归纳法证明不等式举例学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)教材整理用数学归纳法证明不等式阅读教材P50～P53，完成下列问题．1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n1＋nx.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6C[n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.]数学归纳法证明不等式【例1】已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N＋)，求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N＋)．[精彩点拨]先求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．[自主解答](1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋11＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1-2-1＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n1＋n2都成立．此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为12k的后一项为12k＋1，实际上应为12k＋1；二是12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1共有多少项之和，实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，由f(1)＝112，f(3)1，f(7)32，f(15)2，…”.试问：f(2n－1)与n2大小关系如何？试猜想并加以证明．[解]数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列12，1，32，2，…，通项公式为an＝n2，∴猜想：f(2n－1)n2.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝112，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)k2，当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1f(2k－1)＋12k＋1＋…＋12k＋1＝f(2k－1)＋12k2＋12＝k＋12.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．【例2】证明：2n＋2n2(n∈N＋)．-3-[精彩点拨]验证n＝1，2，3时不等式成立⇒假设n＝k成立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证[自主解答](1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左右；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，所以2k＋1＋2(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－1＞2n＋12均成立．[证明](1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边＞右边，∴不等式成立；(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k－1＞2k＋12.-4-则当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－1＞2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1＞4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.不等式中的探索、猜想、证明【例3】若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[精彩点拨]先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[自主解答]当n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1a24，则2624a24，∴a26.又a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋12524，∴当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋12524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1，∵13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋823k＋1，∴13k＋2＋13k＋4－23k＋10，∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，-5-都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524，∴a的最大值为25.1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.这一点必须清楚．3．设an＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．[解]假设g(n)存在，那么当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)，即1＝g(2)1＋12－1，∴g(2)＝2；当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，即1＋1＋12＝g(3)1＋12＋13－1，∴g(3)＝3，当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，即1＋1＋12＋1＋12＋13＝g(4)1＋12＋13＋14－1，∴g(4)＝4，由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．(1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2×1＋12－1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，-6-即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1＝(k＋1)ak＋1k＋1－1＝(k＋1)(ak＋1－1)，说明当n＝k＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是()A．已知⇒结论B．结论⇒已知C．直接证明比较困难D．与正整数有关D[数学归纳法证明的是与正整数有关的命题．故应选D.]2．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n3＜2－1n(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A．1＋123＜2－12B．1＋123＋133＜2－13C．1＋123＜2－13D．1＋123＋133＜2－14A[n0＝2时，首项为1，末项为123.]3．用数学归纳法证不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764成立，起始值至少取()A．7B．8C．9D．10-7-B[左边等比数列求和Sn＝1－12n1－12＝21－12n＞12764，即1－12n＞127128，12n＜1128，∴12n＜127，∴n＞7，∴n取8，选B.]4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N＋，n1)时，第一步证明不等式________成立．[解析]因为n1，所以第一步n＝2，即证明1＋12＋132成立．[答案]1＋12＋1325．试证明：1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.那么n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1k＋k＋1＋1k＋1＝2k＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．