2019-2020学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之

-1-2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标核心素养1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)1.通过对直线与平面位置关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的数学素养；2．通过对平面与平面位置关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.1．直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点无数个公共点1个0个符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？[提示]不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．2．两个平面的位置关系位置关系平行相交图示表示法α∥βα∩β＝a位置关系平行相交公共点个数0个无数个思考：分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么？[提示]分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．1．直线l与平面α有两个公共点，则()-2-A．l∈αB．l∥αC．l与α相交D．l⊂αD[根据公理1可知，l⊂α.]2．若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．不确定B[由公理可知，平面α与平面β相交．]3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________(填序号)．①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．①[若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．]直线与平面位置关系的判定【例1】(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内B[直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．](2)下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0B．1C．2D．3C[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论-3-的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．1．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个A[如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]平面与平面位置关系的判定[探究问题]1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？[提示]因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？[提示]不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.【例2】(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()-4-A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定C[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．](2)完成下列作图：①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．②在图中分别画出三个两两相交的平面．[解]①如图所示，②如图所示，1．平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.-5-2．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．84[三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]3.试画出相交于一点的三个平面．[解]如图所示(不唯一)．1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类直线与平面平行——直线与平面没有公共点直线与平面不平行直线与平面相交——直线与平面有唯一公共点直线在平面内——直线与平面有无数公共点(2)按是否在平面内分类直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行2．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．1．已知直线a在平面α外，则()A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点D[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．仅有一条直线不相交B．仅有两条直线不相交C．无数条直线相交D．任意一条直线不相交-6-D[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．]3．圆柱的两个底面的位置关系是()A．相交B．平行C．平行或异面D．相交或异面B[圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．]4．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．①②[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．[解]根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．