2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末总结教案 新人教A版必修1

1本章总结1．掌握分数指数幂的意义：＝1nam(a0，m，n∈N*，n1)．2．掌握指数式与对数式的关系：ab＝N⇔logaN＝b(a0，且a≠1，N0)．3．指数的运算性质：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝ar·br，其中a0，b0，r，s∈Q.4．对数的运算性质：logaMN＝logaM－logaN，loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMn＝nlogaM(n∈R)，其中a0，且a≠1，M0，N0.5．对数恒等式：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，其中a0，且a≠1，N0.6．比较大小问题：应先区分是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较，要注意指数函数与幂函数单调性在应用上的区别，若是同底数幂比较大小，则利用指数函数的单调性；若是同指数幂比较大小，则利用幂函数的单调性．7．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数运算的优越性．8．利用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．9．在比较与鉴别中学习，注意指数与对数运算法则的对比；指数函数与对数函数性质的对比；函数增长快慢的对比．10．注意数形结合，本章的内容中，图象占有很大的比重，函数的图象在研究函数的性质时起到了很重要的作用，因此在学习中要特别注意利用函数图象，心中不但有“数”，而2且还要有“图”．记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯．专题一指数与对数的运算问题指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，教学中应给予足够的重视．[例1](1)计算：②原式＝lg5(3lg2＋3)＋(3lg2)2＋lg0.01＝3lg2·lg5＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3－2＝1.3[点评](1)对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(2)指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：①同底；②“和积”互化．专题二指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的图象与性质与α的取值有关，a，α变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在a，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论．[例2]如下图所示，函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系下的图象大致是()[解析]因为f(x)＝1＋log2x，所以f(x)的图象应由y＝log2x的图象沿y轴向上平移一个单位而得到，与x轴的交点为(12，0)．因为g(x)＝2－x＋1＝(12)x－1，所以应由y＝(12)x的图象沿x轴向右平移一个单位而得到，故选C.[答案]C4[例3]方程a－x＝logax(a0，且a≠1)的实数解的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]本例可用数形结合法画出y＝a－x与y＝logax的图象，观察交点个数，要注意对a分a1与0a1两种情况讨论．当a1时，在同一坐标系中画出y1＝logax的图象和y2＝a－x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0a1时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．[答案]B[例4]方程log2(x＋2)＝－x的实数解有()A．0个B．1个C．2个D．3个[分析]令y1＝log2(x＋2)，y2＝－x，分别作出两个函数图象，利用数形结合的方法解题．[解析]令y1＝log2(x＋2)，y2＝－x，分别画出两个函数图象，如图所示．函数y1＝log2(x＋2)的图象是由函数y＝log2x的图象向左平移2个单位长度得到．函数y2＝－x的图象是由幂函数y＝x12的图象关于y轴对称得到．由图象可知，显然y1与y2有一个交点．故选B.5[答案]B[点评]本题所给方程不能直接求解，而是需构造两个函数，利用数形结合可从图象上观察到两个函数图象交点的个数，从而推出这个方程解的个数，关键是较准确地作出y1＝log2(x＋2)与y2＝－x的图象．[例5]当0x≤13时，logax8x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(0，33)B．(33，1)C．(1，3)D．(3，2)[解析]∵logax8x，∴logax0，而0x≤13，∴0a1，作出y＝8x与y＝logax的大致图象如图所示，则只需满足loga13813＝2＝logaa2，解得a33，∴33a1，故选B.[答案]B[例6]已知函数f(x)＝ax－1ax＋1(a0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的单调性．[分析]由指数函数的定义知y＝ax(a0，且a≠1)的定义域为x∈R，且y＝ax0，因此在求函数值域时可由ax0求y的取值范围．在讨论单调性时，可由定义入手，也可由指数函数单调性入手．[解](1)易得f(x)的定义域为R.设y＝ax－1ax＋1，解得ax＝－y＋1y－1.①6∵ax0，∴当且仅当－y＋1y－10时，方程①有解．解－y＋1y－10，得－1y1.∴f(x)的值域为{y|－1y1}．(2)f(x)＝ax＋1－2ax＋1＝1－2ax＋1.①当a1时，∵y＝ax＋1为增函数，且ax＋10，∴y＝2ax＋1为减函数，从而f(x)＝1－2ax＋1＝ax－1ax＋1为增函数．②当0a1时，同理可得f(x)＝ax－1ax＋1为减函数(还可以用单调性的定义讨论证明)．[点评]求定义域注意表达式中自变量x受限制的条件，求值域灵活掌握、运用换元法、分离常数法、单调性法、数形结合法、判别式法等各种方法．专题三指数函数、对数函数的实际应用[例7]某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间．[分析]分段求函数的解析式，再利用解析式解决问题．[解](1)当0≤t≤1时，点M(1,4)在线段y＝kt上，则k＝4，这时y＝4t；当t≥1时，点M(1,4)在曲线y＝(12)t－a上，则(12)1－a＝4，得a＝3，这时y＝(12)t－3，所以f(t)＝4t0≤t≤1，12t－3t1.(2)由题意知，需f(t)≥0.25，当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得t≥116，所以116≤t≤1；7当t1时，由(12)t－3≥0.25＝(12)2，得t≤5，所以1t≤5.所以满足f(t)≥0.25时，116≤t≤5.由此知，服药一次治疗疾病有效的时间为5－116＝41516小时．[点评]识图、用图是本题求解的第一环节，待定系数法求函数表达式是重要的方法，在求解不等式f(t)≥0.25时，既要运用分段函数的相关知识，同时又要运用好指数函数的性质．