2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用章末总结教案 新人教A版必修1

1本章总结专题一函数的零点与方程的根根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题．确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二是利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．[例1]设f(x)＝2x，x≥0，－x，x0.(1)f(x)有零点吗？(2)设g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，k应该怎样限制？(3)当k＝－1时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由；(4)请给k规定一个范围，使得方程g(x)＝0总有两个根．[解](1)画出f(x)的图象，如图1，从图象可以看出，图象与x轴没有交点，f(x)没有零点．2(2)从图1可以看出f(x)0.对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了．k应该限制为－1k0.几何解释如图2.(3)有，x＝0，它来源于2x－1＝0；x＝－1，它来源于－x－1＝0.(4)规定k的范围是{k|k≤－1}．[例2]已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则实数a，b，m，n的大小关系是()A．mabnB．amnbC．ambnD．manb[分析]由m，n是f(x)的零点知f(m)＝f(n)＝0，采用数形结合法知，f(x)的零点实际上就是(x－a)(x－b)＝1的根，即y＝(x－a)(x－b)与y＝1交点的横坐标．[解析]作出y＝1与y＝(x－a)(x－b)的图象如图．由图得知mabn.[答案]A专题二函数模型及应用把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题3的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．[例3]2008年北京奥运火炬传递跨越了世界最高峰——珠穆朗玛峰，火炬传递经历低温、缺氧、风速大、攀登难的挑战．设海拔xm处的大气压是yPa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，(其中c，k为常数)，若某火炬手从大气压为1.01×105Pa的海平面地区，到了海拔1000m的高原地区，测得大气压为0.90×105Pa，感觉没有明显的高原反应，于是向海拔8000m进军，从身体需氧的角度讲，当大气压低于0.775×105Pa时就会比较危险，请你分析这位火炬手是否有危险？[解]因为y＝c·ekx，当海拔为0m时，大气压为1.01×105Pa，当海拔为1000m时，大气压为0.90×105Pa，把两组数据代入解析式得1.01×105＝c·e0，0.90×105＝c·e1000k.解得c＝1.01×105，k＝11000ln90101≈－1.153×10－4，可得y＝1.01×105·e－1.153×10－4·x，当x＝8000时，y＝1.01×105·e－1.153×10－4×8000≈0.402×1050.775×105，因此，这位火炬手有危险．[点评]用待定系数法求出函数解析式后，要会利用所得函数模型解决问题．[例4]阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练．如图①，实线表示父亲离家的路程(m)与时间(min)的函数关系，虚线表示儿子离家的路程(m)与时间(min)的函数关系．由图象可知，他们在出发10min时相遇一次，此时离家400m；晨练了30min，他们同时到家．”根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系(图②)，求解下列问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100km/h和20km/h，巡逻艇不停地往返于A，B两港口巡逻(巡逻艇掉头的时间忽略不计)．(1)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次(开始出发时相遇不计入相遇次数)?4(2)出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时距A港口多少千米？[解]如图所示，在坐标系中画出巡逻艇距离A港口的路程(km)与时间(h)的图象如实线所示，画出货轮距离A港口的路程(km)与时间(h)的图象如虚线所示．(1)从图象可知，货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了4次．(2)从图象看出，巡逻艇与货轮第三次相遇是在出发后的3～4h内，设OC所在直线为y1＝mx(m≠0)，∵过点C(5,100)，∴100＝5m，m＝20，∴y1＝20x.设EF所在直线为y2＝kx＋b(k≠0)，∵过E(3,100)，F(4,0)，∴3k＋b＝100，4k＋b＝0，∴k＝－100，b＝400，∴y2＝－100x＋400.由－100x＋400＝20x，解得x＝103，即出发103h时巡逻艇与货轮第三次相遇，此时距A港口20×103＝2003(km)．[点评]本题中，图象交点的个数就意味着货轮与巡逻艇相遇的次数，注意二者之间的这种“对应”关系，正是实际问题与数学问题之间关系的反映，注意仔细体会图象法解题的优越性．专题三函数与方程思想的应用函数思想，是用运动的和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决．方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决．本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点，就是求函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题．5[例5]设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．[解]原方程⇔x－10，3－x0，a－x0，x－13－x＝a－x.即x－10，3－x0，x－13－x＝a－x.整理，得－x2＋5x－3＝a(1x3)．在同一坐标系中分别作出函数y＝a及y＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)的图象，如图所示：当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝3；当x＝52时，ymax＝134.(1)当a134，或a≤1时，函数图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a＝134，或1a≤3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3a134时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根．6