2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时

1第1课时函数的单调性[目标]1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2.会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点]函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点]函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.知识点一增函数与减函数的定义[填一填]设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．[答一答]1．在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能，如图所示：虽然f(－1)f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？(1)对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)；(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)0；2(3)对任意x1、x2都有fx1－fx2x1－x20.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？提示：减函数(x1，x2∈M)⇔任意x1x2，都有f(x1)f(x2)⇔fx1－fx2x1－x20⇔[f(x1)－f(x2)](x1－x2)0.知识点二函数的单调性与单调区间[填一填]如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f(x)＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？提示：不是．例如：取x1＝1，x2＝－1，则x1x2，这时f(x1)＝f(1)＝1，f(x2)＝f(－1)＝－1，故有f(x1)f(x2)．这样与函数f(x)＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减矛盾．事实上，f(x)＝1x的单调减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填]1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，当k0时，函数y＝kx＋b在R上是增函数；当k0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若a0，则该函数在(－∞，－b2a]上3是减函数，在[－b2a，＋∞)上是增函数．若a0，则该函数在(－∞，－b2a]上是增函数，在[－b2a，＋∞)上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)．若k0，则函数y＝kx在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数；若k0，则函数y＝kx在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示：函数在(－∞，12]上是减函数，在[12，＋∞)上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1]证明函数y＝x＋9x在(0,3]上递减．[证明]设0x1x2≤3，则有y1－y2＝(x1＋9x1)－(x2＋9x2)＝(x1－x2)－9x1－x2x1x2＝(x1－x2)(1－9x1x2)．∵0x1x2≤3，∴x1－x20，9x1x21，即1－9x1x20，∴y1－y20，即y1y2.∴函数y＝x＋9x在(0,3]上递减．函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.第二步：作差.准确作出差值fx1－fx2[或fx2－fx1].第三步：变形.通过因式分解、配方、分子分母有理化等方法，向有利于判断差的符4号的方向变形.第四步：确定fx1－fx2[或fx2－fx1]的符号.当符号不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行.第五步：判断.根据定义作出结论.,以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形——定号——判断”.[变式训练1]判断并证明函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝－1x1＋1－－1x2＋1＝－1x1＋1x2＝x1－x2x1x2.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x20.又由x1x2，得x1－x20.于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．因此，f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．类型二利用图象确定函数的单调区间[例2]画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．[分析]去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间[解]y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x0.函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．5利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.,注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或”连接，不能用“∪”连接.[变式训练2]已知f(x)＝x2＋4x＋3，－3≤x0，－3x＋3，0≤x1，－x2＋6x－5，1≤x≤6.(1)画出这个函数的图象；(2)求函数的单调区间．解：(1)f(x)＝x2＋4x＋3，－3≤x0，－3x＋3，0≤x1，－x2＋6x－5，1≤x≤6，作出其图象如下：6(2)由f(x)的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3)．类型三函数单调性的应用命题视角1：利用函数的单调性比较大小[例3]已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与f34的大小．[分析]要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．[解]∵a2－a＋1＝a－122＋34≥34，∴34与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，∴f34≥f(a2－a＋1)．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.[变式训练3]设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(D)A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a)解析：选项D中，∵a2＋1a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋1)f(a)．而其他选项中，当a＝0时，自变量均是0，应取等号．故选D.命题视角2：利用函数的单调性解不等式[例4]已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，求x的取值范围．[解]∵f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(x－2)f(1－x)，7∴－1≤x－2≤1－1≤1－x≤1，x－21－x解得1≤x32.∴x的取值范围是1≤x32.对于x1x2⇔fx1fx2函数fx为增函数，要注意“双向性”；左到右两边同“加”“f”不等号方向不变，右到左两边同“脱”“f”不等号方向也不变，若fx为减函数则恰恰相反.[变式训练4]已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)f(11＋8a)，则实数a的取值范围是－∞，－185.解析：由题意3a－711＋8a，解得a－185.命题视角3：利用函数的单调性确定参数的值或取值范围[例5]函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或范围)是________．(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或范围)是________．[分析]说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调区间的子集．[答案](1)－3(2)(－∞，－3][解析](1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法：(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间作比较，求出参数的取值范围．(2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化．8[变式训练5]已知函数f(x)＝2－4xx1，x2＋2ax－3a＋3x≤1，若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解：令g(x)＝2－4x，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.显然，函数g(x)＝2－4x在(1，＋∞)上递增，且g(x)2－41＝－2；函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，且h(1)＝4－a，故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，则－a≤－7，h1≤g1，即a≥7，4－a≤－2，∴a≥7，∴a的取值范围为[7，＋∞)．1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(C)A．y＝2x＋1B．y＝x2＋1C．y＝3－xD．y＝x2＋2x＋1解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则(D)A．k12B．k12C．k－12D．k－12解析：当2k＋10，即k－12时，函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数．3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．9解析：由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．4．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)f(5＋6a)，则实数a的取值范围是(－∞，－4)．解析：由题意，知4a－35＋6a，a－4.5．求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．证明：对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2.有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0x1x2，∴x2－x10，x2＋x10，x21x220.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．——本课须掌握的两大问题1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)⇔x1x2(x1x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区