2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题六 概率与统计 第2讲 概率与统计的综合应用教学案（文）

-1-(文)第2讲概率与统计的综合应用[考情考向·高考导航]1．以客观题的形式、考查古典概型、几何概型的简单应用，难度中低档．2．在解答题中以实际生活为背景，考查概率与统计的实际应用，概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7解析：B[设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)，因为P(A)＝0.45，P(AB)＝0.15，P(A∪B)＝0.45＋P(B)＋0.15＝1，所以P(B)＝0.4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4解析：B[不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为＝π8，选B.]3．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、-2-中、青员工分别有72人，108人，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F，享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．(ⅱ)由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.[主干整合]1．随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)＜1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件、对立事件的概率公式-3-(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)P(A)＝1－P(B)．3．古典概型的概率公式P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.4．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．区分互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．关注条件：概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.热点一几何概型数学建模素养数学建模——几何概型中的核心素养以几何概型为基础，把数学中的实际问题转化为几何概型，建立数学模型，从而解决实际问题.[题组突破]1．(2019·日照三模)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：B[如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝10＋1040＝12.]2．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn-4-解析：C[如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，由几何概型的概率公式可得mn＝14π12，故π＝4mn.]3．(2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：A[设直角三角形ABC的边AB＝a，AC＝b，则BC＝a2＋b2，则区域Ⅰ的面积SⅠ＝12ab，区域Ⅲ的面积SⅢ＝12πa2＋b222－12ab＝π8(a2＋b2)－12ab，区域Ⅱ的面积SⅡ＝12πa22＋12πb22－SⅢ＝π8(a2＋b2)－π8(a2＋b2)＋12ab＝12ab.∴SⅠ＝SⅡ，SⅡ＋SⅢ＝π8(a2＋b2)≠SⅠ，由几何概型的概率公式可知p1＝p2，故选A.]求解几何概型的关注点(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻-5-找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．热点二古典概型[例1](1)(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15[解析]B[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.](2)(2019·昆明二模)某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．①求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；②求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．[解析]将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种．①被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6种．记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，则P(A)＝615＝25.②记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况．其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3,4,5,6)．所以P(B)＝115，所以P(B)＝1－P(B)＝1－115＝1415.利用古典概型求事件概率的关键及注意点-6-(1)关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．(2)注意点：①对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．(1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130解析：C[输入一次密码能成功开机的概率P＝13×5＝115.故选C.](2)(天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15解析：C[从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝410＝25.]热点三概率与统计的综合问题数据分析素养数据分析——概率与统计中的核心素养数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.概率与数字特征、统计图表的交汇[例2－1]某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工月收入(单位：元)的频数分布表以及B企业员工月收入(单位：元)的统计图如下．A企业员工月收入的频数分布表月收入/元人数[2000,3000)5[3000,4000)10[4000,5000)20[5000,6000)42-7-[6000,7000)18[7000,8000)3[8000,9000)1[9000,10000]1B企业员工月收入的统计图(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工月收入不低于5000元的概率．(2)(ⅰ)若从A企业的月收入在[2000,5000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，则这2人月收入都不在[3000,4000)的概率是多少？(ⅱ)若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业？并说明理由．[审题指导](1)由题中B企业员工月收入的统计图知100人中月收入超过5000元的人数，即可得所求概率．(2)(ⅰ)由古典概型的概率计算公式可得所求概率；(ⅱ)分别求出A，B两企业员工的平均月收入，结合所求说出合理理由即可．[解析](1)由题中B企业员工月收入的统计图知100人中月收入不低于5000元的有68人，故所求概率为68100＝0.68.(2)(ⅰ)A企业月收入在[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)的人数比为1∶2∶4，则按分层抽样的方法抽取的7人中，月收入在[3000,4000)的人数为2，设月收入在[3000,4000)的2人分别为A，B，其余5人分别为a，b，c，d，e，从这7人中抽取2人共有21种情况，分别为(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，