陕西省西安中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文

1西安中学高2020届高三第一次月考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若，则（）A.1B.C.D.2.若集合4,,集合,则图中阴影部分表示A.B.C.D.3.设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设,,则A.B.C.D.5.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是A.9B.4C.D.6.函数在的图像大致是()A.B.C.D.27.如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.08.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,则的形状一定是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形9.若函数有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.10.如图,在中,已知,,,,则()A.B.13C.D.11.定义在R上的偶函数满足,对,且,都有,则有A.B.C.D.312.设函数f（x）的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量,的夹角为,且,则=______．14.若满足约束条件则的最小值为________．15.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＝b2+c2﹣bc，sinC＝2cosB，则B的大小为________________16.已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．4三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知,,且函数．求的对称轴方程；在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,求b的值．18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁____________80年龄大于50岁10____________合计______70100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：，n=a+b+c+d，5P（K2＞k）0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63519.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C的参数方程为为参数．求直线L和曲线C的普通方程；在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值20.已知函数,．解不等式；若对任意,都有,使得成立,求实数a的取值范围．621.已知椭圆C：的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8．求椭圆C的方程；若直线与椭圆C分别交于A，B两点，且，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．22.已知函数f（x）=x2-（a-2）x-alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．7西安中学高2020届高三第一次月考文科数学答案123456DAAAAB789101112DBDDAC13.【答案】14.【答案】-115.【答案】16.【答案】①③④17.【答案】解：,令,可得,即的对称轴方程为,；,,得,当时,，,,,8由正弦定理可得,．【解析】本题主要考查平面向量的数量积以及三角函数性质和正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.利用平面向量的数量积及辅助角公式化简函数式得到，结合正弦18.【答案】解：（1）支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100（2），所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是．19.【答案】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，∴直线L的普通方程为：，∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：，当时，即，dmin=2，此时点Q坐标为．20.【答案】解：（1）由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，9∴－7＜|x－1|＜3，解得－2＜x＜4，∴不等式的解集为{x|－2＜x＜4}．（2）∵对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，∴，又f（x）＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|（2x－a）－（2x＋3）|＝|a＋3|，g（x）＝|x－1|＋2≥2，∴|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，∴实数a的取值范围为（－∞，－5]∪[－1，＋∞）．21.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率e===，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理得：（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴．∴7m2=12（k2+1），满足△＞0．10∴点O到直线AB的距离d===为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．22.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x-（a-2）-=当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；综上：a≤0时，f(x)的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间.a＞0时，f(x)的单调增区间为（，+∞）,单调减区间为（0，）.（2）当a=1时，f（x）=x2+x-lnx，要证明f（x）+ex＞x2+x+2，只需证明ex-lnx-2＞0，设g（x）=ex-lnx-2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，g′（x）=ex-，易知g'(x)在（0，+∞）上单调递增，因为g'(1)=e-10，,故存在唯一的使得g'(x0)=0，则x0满足，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表xg′（x）-0+g（x）递减递增,因为，因此不等式得证．