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-1-第2讲三角恒等变换与解三角形[考情考向·高考导航]1.三角恒等变换是高考必考内容,可以单独命题,也可以与三角函数图象和性质综合,有时与解三角形综合.难度一般不大,单独命题多以选择题、填空题的形式出现,有时与其他知识综合,以解答题的形式出现.2.解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题,有时也涉及三角恒等变换,难度中等.单独考查以选择题、填空题为主,综合考查以解答题为主.[真题体验]1.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15B.55C.33D.255解析:B[∵α∈0,π2,由2sin2α=cos2α+1得:4sinαcosα=2cos2α,∴2sinα=cosα,∴2sinα=1-sin2α,∴5sin2α=1,∴sin2α=15,∴sinα=55.]2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3解析:A[∵asinA-bsinB=4csinC,∴a2-b2=4c2,∵cosA=-14,∴b2+c2-a22bc=-14,即-3c22bc=-14,∴bc=4×32=6.]3.(2019·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2a,3csinB=4asinC.-2-(1)求cosB的值;(2)求sin2B+π6的值.解:(1)在△ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a,由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22·a·23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=-158×32-78×12=-35+716.[主干整合]1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα.(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα1-tan2α.3.辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba.4.正弦定理及其变形在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.5.余弦定理及其变形-3-在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA;变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=b2+c2-a22bc.6.三角形面积公式S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.热点一三角恒等变换与求值数学运算素养数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养三角运算是重要的“数学运算”,在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方法,灵活地选用三角公式,完成三角运算.[例1](1)(2019·江苏卷)已知tanαtanα+π4=-23,则sin2α+π4的值是________.[解析]方法1:由tanαtanα+π4=tanαtanα+11-tanα=tanα-tanαtanα+1=-23,解得tanα=2或-13.sin2α+π4=22(sin2α+cos2α)=22(2sinαcosα+2cos2α-1)=2(sinαcosα+cos2α)-22=2·sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α-22=2·tanα+1tan2α+1-22,将tanα=2和-13分别代入得sin2α+π4=210.-4-方法2:∵tanαtanα+π4==-23,∴sinαcosα+π4=-23cosαsinα+π4.①又sinπ4=sinα+π4-α=sinα+π4cosα-cosα+π4sinα=22,②由①②,解得sinαcosα+π4=-25,cosαsinα+π4=3210.∴sin2α+π4=sinα+α+π4=sinαcosα+π4+cosαsinα+π4=210.[答案]210(2)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(ⅰ)求sin(α+π)的值;(ⅱ)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.[解析](ⅰ)由角α的终边过点P-35,-45得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(ⅱ)由角α的终边过点P-35,-45得cosα=-35,由sin(α+β)=513得-5-cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.[答案](ⅰ)45(ⅱ)-5665或1665(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.(1)(2019·维坊三模)已知sinα=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析:C[因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-1010,所以cos(α-β)=31010.又sinα=55,所以cosα=255,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=55×31010-255×-1010=22.所以β=π4.](2)(2020·广西三市联考)设α为锐角,若cosα+π6=45,则sin2α+π12的值为________.-6-解析:因为α为锐角且cosα+π6=45>0,所以α+π6∈π6,π2,所以sinα+π6=35.所以sin2α+π12=sin2α+π6-π4=sin2α+π6cosπ4-cos2α+π6sinπ4=2sinα+π6cosα+π6-222cos2α+π6-1=2×35×45-222×452-1=12225-7250=17250.答案:17250热点二正、余弦定理的应用用正、余弦定理求解边、角、面积[例2-1](2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.[解析](1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-22.因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22,-7-故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=6+24.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.用正、余弦定理解决实际问题[例2-2](2019·重庆二诊)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.[解析]由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600m,故由正弦定理得600sin45°=BCsin30°.解得BC=3002m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=3002×33=1006(m).[答案]1006解三角形实际问题三步骤(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解.(1)-8-(2019·威海三模)如图,在△ABC中,点D在AC上,AB⊥BD,BC=33,BD=5,sin∠ABC=235,则CD的长为()A.14B.4C.25D.5解析:B[利用余弦定理求解.因为sin∠ABC=sin∠DBC+π2=cos∠DBC=235,在△DBC中,由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=25+27-2×5×33×235=16,所以CD=4,故选B.](2)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=45.已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为________海里/小时.解析:因为cosθ=45,0°<θ<45°,所以sinθ=35,cos(45°-θ)=22×45+22×35=7210,在△ABC中,BC2=800+100-2×202×10×7210=340,所以BC=285,该货船的船速为485海里/小时.答案:485-9-热点三与解三角形的交汇创新[例3](2020·烟台模拟)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB=74,cosAsinA+cosCsinC=477.(1)求证:0<B≤π3;(2)若BA→·BC→=32,求|BC→+BA→|.[审题指导](1)三角恒等变换,利用重要不等式转化关于cosB的不等式.(2)由数量积求ac,再由模长公式结合余弦定理求模.[解析](1)证明:因为cosAsinA+cosCsinC=cosAsinC+cosCsinAsinAsinC=A+CsinAsinC=sinBsinAsinC=477=1sinB,所以sinAsinC=sin2B,由正弦定理可得b2=ac,因此b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,所以cosB≥12,又0<B<π,所以0<B≤π3.(2)由(1)知0<B≤π3,又sinB=74,所以cosB=1-sin2B=1-716=34.所以32=BA→·BC→=cacosB=34ac,解得ac=2,因此b2=2.由余弦定理
本文标题:2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题二 三角函数及解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形教学
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