2021高考数学一轮复习 第10章 算法初步、统计与统计案例 第4节 变量间的相关关系、统计案例教学

1第四节变量间的相关关系、统计案例[最新考纲]1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．1．相关性(1)线性相关若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．(2)非线性相关若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．(3)不相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．2．最小二乘估计(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回归方程方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．b＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2.a＝y－bx.3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心2对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(x，y)称为样本点的中心．(3)相关系数r①r＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny2；②当r0时，称两个变量正相关．当r0时，称两个变量负相关．当r＝0时，称两个变量线性不相关．4．独立性检验若一个2×2列联表为：BAB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d则统计量χ2为：χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.(1)当χ2≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ22.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ23.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ26.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[常用结论]1．回归直线必过样本点的中心(x，y)．2．当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．()(2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势．()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检3验．()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5D．y＝－0.3x＋4.4A[因为变量x和y正相关，排除选项C，D.又样本中心(3,3.5)在回归直线上，排除B，选项A满足．]2．下面是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]3．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2的观测值k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为______．5%[χ2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]4．某同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y(杯)与当天最高气温x(℃)的有关数据，通过描绘散点图，发现y和x呈线性相关关系，并求得其回归方程y^＝2x＋60.如果气象预报某天的最高气温为434℃，则可以预测该天这种饮料的销售量为__________杯．128[由题意x＝34时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数y^＝2×34＋60＝128杯．]考点1相关关系的判断判定两个变量正、负相关的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回归直线方程中：b^0时，正相关；b^0时，负相关．1.已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关C[由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关．]2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3A[由相关系数的定义以及散点图可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]53．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－3B．0C．－1D．1C[在一组样本数据的散点图中，所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，所以b＝－30，即这组样本数据的两个变量负相关，且相关系数为－1.故选C.]4．x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关系数为r1，用y^＝b^x＋a^拟合时的相关指数为r2，则|r1|＞|r2|；③x，y之间不能建立线性回归方程．①②[在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用y^＝b^x＋a^拟合效果要好，则|r1|＞|r2|，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．]相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具有相关性．考点2回归分析线性回归分析求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)利用公式b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x求得回归系数；(3)写出回归直线方程．6如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程，预测2021年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y＝54，∑7i＝1(ti－t)(yi－y)＝21，14≈3.74，∑7i＝1(yi－y^i)2＝94.参考公式：相关系数r＝∑ni＝1ti－tyi－y∑ni＝1ti－t2∑ni＝1yi－y2，线性回归方程y^＝a^＋b^t，b^＝∑ni＝1ti－tyi－y∑ni＝1ti－t2，a^＝y－b^t.反映回归效果的公式为：R2＝1－∑ni＝1yi－y^i2∑ni＝1yi－y2，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．[解](1)由折线图中的数据得，t＝4，∑7i＝1(ti－t)2＝28，∑7i＝1(yi－y)2＝18，所以r＝2128×18≈0.935.因为y与t的相关系数近似为0.935，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用7线性回归模型拟合y与t的关系．(2)因为y＝54，b^＝∑7i＝1ti－tyi－y∑7i＝1ti－t2＝2128＝34，所以a^＝y－b^t＝54－34×4＝51，所以y关于t的线性回归方程为y^＝b^t＋a^＝34t＋51.将2021年对应的t＝10代入得y^＝34×10＋51＝58.5，所以预测2021年该企业污水净化量约为58.5吨．(3)因为R2＝1－∑7i＝1yi－y^i2∑7i＝1yi－y2＝1－94×118＝1－18＝78＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．在线性回归分析中，只需利用公式求出回归直线方程并利用其进行预测即可(注意回归直线过样本点的中心(x，y))，利用回归方程进行预测，常把线性回归方程看作一次函数，求函数值．[教师备选例题]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；8(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x)[解](1)t＝3，z＝2.2，∑5i＝1tizi＝45，∑5i＝1t2i＝55，b^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z－b^t＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以z^＝1.2t－1.4.(2)将t＝x－2012，z＝y－5，代入z^＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即y^＝1.2x－2410.8.(3)因为y^＝1.2×2022－2410.8＝15.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．1.(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知∑10i＝1xi＝225，∑10i＝1yi＝1600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160B．163C．166D．170C[∵∑10i＝1xi＝225，∴x＝110∑10i＝1xi＝22.5.∵∑10i＝1yi＝1600，∴y＝110∑10i＝1yi＝160.又b^＝4，∴a^＝y－b^x＝160－4×22.5＝70.∴回归直线方程为y^＝4x＋70.将x＝24代入上式得y^＝4×24＋70＝166.故选C.]92．某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表：广告费用x(万元)2345销售额y(万元)26m4954根据上表可得回归方程y^＝9x＋10.5，则m的值为()A．36B．37C．38D．39D[由回归方程的性质，线性回归方程过样本点的中心，则26＋m＋49＋544＝2＋3＋4＋54×9＋10.5