（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线教案

-1-第2讲椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1．圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2＝2px(p0)2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．[典型例题](1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г：y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线Г交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若|AF||BF|＝m，则cosα的值为()A.m－1m＋1B.mm＋1C.m－1mD.2mm＋1(2)椭圆x24＋y2＝1上到点C(1，0)的距离最小的点P的坐标为________．(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．【解析】(1)设抛物线y2＝2px(p0)的准线为l：x＝－p2.如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N.-2-在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α，由|AF||BF|＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|，根据抛物线的定义得：|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|，所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，在直角三角形ABC中，cosα＝cos∠BAC＝|AC||AB|＝（m－1）|BF|（m＋1）|BF|＝m－1m＋1，故选A.(2)设点P(x，y)，则|PC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋1－x24＝34x2－2x＋2＝34x－432＋23.因为－2≤x≤2，所以当x＝43时，|PC|min＝63，此时点P的坐标为43，53或43，－53.(3)通解：依题意，设点P(m，n)(n0)，由题意知F(－2，0)，所以线段FP的中点M－2＋m2，n2在圆x2＋y2＝4上，所以－2＋m22＋n22＝4，又点P(m，n)在椭圆x29＋y25＝1上，所以m29＋n25＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－32或m＝212(舍去)，n＝152，所以kPF＝152－0－32－（－2）＝15.优解：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝22－122＝152，所以kPF＝tan∠HFO＝15212＝15.-3-【答案】(1)A(2)43，53或43，－53(3)15(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解．②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．②计算．即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)．[对点训练]1．已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF2的距离为455，其中点P(－1，－4)，则椭圆的标准方程为()A．x2＋y24＝1B.x24＋y2＝1C．x2＋y22＝1D.x22＋y2＝1解析：选D.设F2的坐标为(c，0)(c0)，则kPF2＝4c＋1，故直线PF2的方程为y＝4c＋1(x－c)，即4c＋1x－y－4cc＋1＝0，点(－1，0)到直线PF2的距离d＝－4c＋1－4cc＋14c＋12＋1＝44c＋12＋1＝455，即4c＋12＝4，解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①又点1，22在椭圆E上，所以1a2＋12b2＝1，②由①②可得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.故选D.-4-2．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．解析：因为右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，所以b＝34·2c＝32c，平方得b2＝34c2＝c2－a2，即a2＝14c2，则c＝2a，则离心率e＝ca＝2，因为双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，所以2a＝4，则a＝2，从而b＝16－4＝23.答案：243圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22B．1C.2D．2(2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()-5-A．1B.2C．2D．22【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.(2)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以12×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2b2＋c2≥22bc＝22(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.【答案】(1)C(2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注]求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[对点训练]1．(2019·绍兴诸暨高考二模)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足∠PF2F1＝2∠PF1F2＝60°，则此双曲线的离心率等于()A．23－2B.3＋12C.3＋1D．23＋2解析：选C.设双曲线的焦距长为2c，因为点P为双曲线上一点，且∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，所以P在右支上，∠F2PF1＝90°，即PF1⊥PF2，|PF1|＝2csin60°＝3c，|PF2|＝2ccos60°＝c，所以由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝(3－1)c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、-6-C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝π3，则C1与C2的离心率之和为()A．23B．4C．25D．26解析：选A.F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝π3，可得A－12c，32c，B12c，－32c，代入椭圆方程可得c24a2＋3c24b2＝1，可得e24＋34e2－4＝1，可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝3－1.代入双曲线方程可得：c24a2－3c24b2＝1，可得：e24－34－4e2＝1，可得：e4－8e2＋4＝0，解得e＝3＋1，则C1与C2的离心率之和为23.故选A.直线与圆锥曲线[核心提炼]1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得到方程Ax2＋Bx＋C＝0.①若A＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点．②若A≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个-7-交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，其中|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2.考向1位置关系的判断[典型例题]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．【解】(1)由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，ON的方程为y＝ptx，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．考向2弦长问题[典型例题]已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.-8-不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1k(x－1)，由y2＝4x，y＝k（x－1），消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2k2＋4k2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋4k2＋2＝4＋4k2.同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝4＋4k2＋4＋4k2＝8＋41k2＋k2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16，故选A.【答案】A考向3分点(中点)问题[典型例题]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为4，且经过点P(2，53)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l经过M(0，1)，且与C交于A，B两点，MA→＝－23MB→，求l的方程．【解】(1)依题意知，2c＝4，则椭圆C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，