2021高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第5节 空间向量的运算及应用教学案 理 北师大版

1第五节空间向量的运算及应用[最新考纲]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量方向向量A、B是空间直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量法向量如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量n叫做平面α的法向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．2向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b235．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[常用结论]1．对空间任一点O，若OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．2．对空间任一点O，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()(3)设{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材改编31．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6C[∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.]2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB．12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD．12a－12b＋cA[BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.]3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1)B．(1，－1,1)C．－33，－33，－33D．33，33，－33C[设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则n·AB→＝0，n·AC→＝0，化简得－x＋y＝0，－x＋z＝0，∴x＝y＝z.故选C.]4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.26[∵a⊥b，∴a·b＝0，即－8＋6＋x＝0，∴x＝2.∴b＝(－4,2,2)，∴|b|＝16＋4＋4＝26.]考点1空间向量的线性运算用基向量表示指定向量的方法4(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x＋y＋z＝________.56[连接ON，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12b＋12c－12a，OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c.又OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝16，y＝13，z＝13，因此x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.]2.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.5[解](1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为N是BC的中点，所以A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)因为M是AA1的中点，所以MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算．考点2共线(共面)向量定理的应用证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→且同过点PMP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.6[证明](1)连接BG，EG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12()BC→＋BD→＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→.由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(1)本例(2)在证明中运用了向量共线定理及线面平行的判定定理．(2)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．1.已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2A[∵a∥b，∴设b＝xa，∴xλ＋1＝6，2μ－1＝0，2x＝2λ，解得μ＝12，λ＝2，或μ＝12，λ＝－3.故选A.]2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．7657[∵a与b不共线，故存在实数x，y使得c＝xa＋yb，∴2x－y＝7，－x＋4y＝5，3x－2y＝λ，解得x＝337，y＝177，λ＝657.故填657.]考点3空间向量数量积的应用(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．(2)空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0.②|a|＝a2.③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．[解](1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC→1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC1的长为6.(2)证明：∵AC→1＝a＋b＋c，BD→＝b－a，∴AC→1·BD→＝(a＋b＋c)·(b－a)8＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴AC→1⊥BD→，∴AC1⊥BD.(3)BD→1＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD→1|＝2，|AC→|＝3，BD→1·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈BD→1，AC→〉＝BD→1·AC→|BD→1||AC→|＝66.∴AC与BD1夹角的余弦值为66.对于不方便建立空间直角坐标系的题目，常常借助基向量及数量积的定义求解；倘若建系方便，则通过坐标法求解．[教师备选例题]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EG→·BD→.[解]设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，EF→·BA→＝12c－12a·(－a)＝12a2－12a·c＝14，(2)EG→·BD→＝(EA→＋AD→＋DG→)·(AD→－AB→)＝－12AB→＋AD→＋AG→－AD→·(AD→－AB→)9＝－12AB→＋12AC→＋12AD→·(AD→－AB→)＝－12a＋12b＋12c·(c－a)＝12－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12＝12.如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．(1)求BN→的模；(2)求cos〈BA1→，CB1→〉的值；(3)求证：A1B⊥C1M.[解](1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN→|＝1－02＋0－12＋1－02＝3.(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以BA1→＝(1，－1,2)，CB1→＝(0,1,2)，BA1→·CB1→＝3，|BA1