2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角

17.1.1角的推广学习目标核心素养1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般)2.理解象限角的概念．(重点)3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(难点)1.通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养.1.角的概念(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转而形成的角负角按顺时针方向旋转而形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.角的加减法运算引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？[提示]不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．1.钟表的分针在一个半小时内转了()A．180°B．－180°C．540°D．－540°D[钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]2.下列各角中，与330°角的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．]3.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)①②③④[由象限角定义可知①②③④都不正确．]任意角的概念【例1】(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝CB．A⊆CC．(A∩C)＝BD．(B∪C)⊆C(2)设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝BB．B＝CC．A＝CD．A＝D[思路探究]利用角的概念进行判断．(1)D(2)D[(1)第一象限角可表示为k·360°αk·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°β90°；小于90°的角可表示为γ90°；由三者之间的关系可知，选D．(2)直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．]31.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．其中正确说法的序号是________．③[①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．]象限角与区域角的表示【例2】(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()A．{α|k·360°＋30°αk·360°＋45°，k∈Z}B．{α|k·180°＋150°αk·180°＋225°，k∈Z}C．{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}D．{α|k·360°＋30°αk·180°＋45°，k∈Z}(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．[思路探究]找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k·360°k∈Z适合题意的角的集合4(1)C[在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}．](2)[解]阴影在x轴上方部分的角的集合为：A＝{β|k·360°＋60°≤βk·360°＋105°，k∈Z}．阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤βk·360°＋285°，k∈Z}．所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤βk·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤βk·360°＋285°，k∈Z}．其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤βk·360°＋180°＋105°，k∈Z}．即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β2k·180°＋105°，k∈Z}．故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤βn·180°＋105°，n∈Z}．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|αxβ}，其中β－α360°；第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．[解]在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°α45°＋k·360°，k∈Z}.αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题[探究问题]1.由α所在象限如何求αk(k∈N*)所在象限？[提示](1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出αk所在的范围，进一步5由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°α180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°α360°＋k·120°，k∈Z，所以α3在第一、二、四象限．(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，αk就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，α2在图k＝2时的2号区域，α3在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．2.若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？[提示](1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.【例3】(1)若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？[思路探究](1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；(2)由α的范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定α2的位置．6(1)C[因为α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°αk·360°，k∈Z，所以－k·360°－α－k·360°＋90°，则－k·360°＋180°180°－α－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，当k＝0时，180°180°－α270°，故180°－α为第三象限角．](2)[解]∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°，k∈Z，∴180°＋2k·360°2α360°＋2k·360°，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．同理45°＋k2·360°α290°＋k2·360°.当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°α290°＋n·360°，此时，α2为第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°α2270°＋n·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．(变结论)本例(2)中条件不变，试判断α3是第几象限角？[解]∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°α360°＋k·120°，k∈Z.当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°α360°＋n·360°，n∈Z，此时α3为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°α3180°＋n·360°，n∈Z，此时α3为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°α3300°＋n·360°，n∈Z，此时α3为第四象限角．7∴α3为第一、第二或第四象限角．解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或\f(α,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论.1.终边在坐标轴上的角的集合表示角α的终边位置角α的集合表示在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}3.对终边相同的角的说明所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).1.以下说法正确的是()A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A⊆BC．若k·360°αk·360°＋180°(k∈Z)，则α为第一或第二象限角D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)B[对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B8＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A⊆B，故选B．]2.已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z