河北省唐山市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题

-1-河北省唐山市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题考试时间：120分钟总分：150分本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共22题。考生作答时，将第I卷答案填涂在选择题答题卡上，第II卷答案写在非选择题答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，只交两张答题卡。第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．若直线经过)3,2(A，)3,4(B两点，则直线AB的倾斜角为（）A．6B．3C．32D．652．已知直线1l：02)2()2(ymxm，直线2l：013myx，且21ll，则m等于（）A．﹣1B．6或﹣1C．﹣6D．﹣6或13．“34m”是“直线024mmyx与圆422yx相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“∃x0＜0，12x0＜1”的否定是（）A．∃x0≥0，12x0≥1B．∀x≥0，12x≥1C．∀x＜0，12x＞1D．∀x＜0，12x≥15．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．186．在三棱锥A﹣BCD中，BCDAB面，4AB，52AD，2CDBC，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．52B．5C．5D．207．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊥n，m⊥α，则n∥βB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β-2-C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n8．若直线kkxy36与曲线29xy有两个交点，则k的取值范围是（）A．),1[B．)43,1[C．]1,43(D．]1,(9．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，(2,3)P是椭圆上一点，且1122,,PFFFPF成等差数列，则椭圆方程为（）A．221166xyB．22184xyC．22186xyD．221164xy10．已知定点(4,0)A和圆x2+y2＝4上的动点B,动点(,)Pxy满足2OAOBOP,则点P的轨迹方程为（）A．22(2)2xyB．22(2)2xyC．22(2)1xyD．22(2)1xy11．已知四面体A-BCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF与CD所成角的度数为30°，则EF与AB所成角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°12．椭圆)0(1:2222babyaxC的左焦点为F，若F关于直线03yx的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．21B．213C．23D．13第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分，答案填在Ⅱ卷答题卡上）13．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是。14．过点P（1，）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝。-3-15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为。16.椭圆22154xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点,MN，当FMN的周长最大时，FMN的面积是。三、解答题：（共6小题，70分。解答应写出文字说明、证明过程，答案填在Ⅱ卷答题卡上）17．已知命题p：1,1x，不等式02xm恒成立；q：方程14222ymx表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p为假命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．已知圆C与直线x+y＝1相切于A（2，﹣1），且圆心在直线y＝﹣2x上（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程．20．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，-4-CC1＝2，点M是A1B1的中点．（1）求证：B1C∥平面AC1M；（2）求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．21．已知圆C：（x+1）2+y2＝16和点B（1，0），P是圆C上一点，线段BP的垂直平分线交CP于点E，（1）求点E的轨迹方程.（2）设点E的轨迹为曲线G，过点B（1，0）的直线与曲线G交于不同的两点M，N，A为曲线G的左顶点．当△AMN的面积为时，求l的方程．22．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．-5--6-唐山二中2019-2020学年度第一学期高二期中考试数学答案一、选择题CBADADBBCDAD二、填空题13、427m14、315、55216、855三、解答题17、（1）解：（1）若￢p为假，则p为真，若命题p真，即对∀x∈[﹣1，1]，m﹣x2≥0恒成立，则m≥（x2）max＝1，所以m≥1；（2）解：命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞4⇒m＞2或m＜﹣2，∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假，①如果p真q假，则有，得1≤m≤2；②如果p假q真，则有，得m＜﹣2，综上实数m的取值范围为m＜﹣2或1≤m≤2．18、解：（1）由题意设圆心为（a，﹣2a），由圆心与切点的连线与切线垂直可得，解得a＝1．∴C（1，﹣2），半径r＝|AC|＝．∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2；（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意，，解得k＝，∴直线l的方程为y＝﹣．综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或y＝﹣．19、解：（1）椭圆C：＝1的离心率为，∴＝，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，∴a＝4，∴c＝2，-7-∴b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆C的方程+＝1；（2）设过点P（2，1）作直线l，点差法求得直线l的斜率为k＝﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4＝0．20.（1）证明：直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．11ACCA和连结交于点O，连结OM，则CBOM1//，MACOM1平面B1C平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M．（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），C1（0，0，2），M（，2），＝（﹣1，0，2），＝（﹣，2），＝（0，0，2），设平面AC1M的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（2，﹣2，1），设AA1与平面AC1M所成角为θ，则AA1与平面AC1M所成角的正弦值为：sinθ＝nAAnAA11＝＝．21.解：(1)定义法求得E的轨迹方程：（2）直线l的斜率不存在时92AMNS,不合题意。∴直线l的斜率存在，设l：(1)ykx，M（x1，y1），N（x2，y2）由消去y得消元可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，x-8-|MN|＝|x1﹣x2|＝点A（﹣2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为d＝∴S＝|MN||•d＝2243118kkk＝．∴17k4+k2﹣18＝0⇒k＝±1∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0说明：设1myx计算简单22.证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC．∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．（2）解：设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴，以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），S（﹣1，0，2），B（0，﹣，0），D（0，，0）．设E（x，0，z），则＝（x+1，0，z﹣2），＝（1﹣x，0，﹣z），设＝，∴，∴E（，0，），∴＝（，﹣，）．＝（0，，0），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），∵．解得＝（2，0，1﹣λ）为平面BDE的一个法向量．同理可得平面SAD的一个法向量为m＝（），∵平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，-9-∴cos30°＝＝＝，解得λ＝1．∴E为SC的中点．