2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.2 任意角的三角函数 7.2.4 诱导公

1第2课时诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧学习目标核心素养1.掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点)2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点)1.通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2.通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.1.诱导公式⑤sinπ2－α＝cosα；cosπ2－α＝sinα.2.诱导公式⑥sinα＋π2＝cosα；cosα＋π2＝－sinα.3.诱导公式⑦sin3π2＋α＝－cosα；cos3π2＋α＝sinα.4．诱导公式⑧sin3π2－α＝－cosα；cos3π2－α＝－sinα.思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？[提示]诱导公式可以归纳为k·π2＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的2奇和偶分别指的是π2的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．1.已知sin40°＝a，则cos130°＝()A．aB．－aC．1－a2D．－1－a2B[cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.]2.若cosπ2＋θ0，且sinπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角C[由于cosπ2＋θ＝－sinθ0，所以sinθ0，又因为sinπ2－θ＝cosθ0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．]3.如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A等于()A．－12B．12C．－32D．32B[cos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12.]利用诱导公式求值【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cosπ2＋α的值．(2)已知cosπ6－α＝13，求cos5π6＋αsin2π3－α的值．[解](1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，又α为第一象限角．3则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32.(2)cos5π6＋α·sin2π3－α＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α＝－cosπ6－α·sinπ3＋α＝－13sinπ2－π6－α＝－13cosπ6－α＝－19.这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.1.已知sinπ6＋α＝33，求cosπ3－α的值．[解]∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α＝sinπ6＋α＝33.利用诱导公式化简【例2】化简coskπ＋π2－αsinkπ－π2－αsin[k＋1π＋α]coskπ＋α，其中k∈Z.[解]k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则4原式＝cos2mπ＋π2－αsin2mπ－π2－αsin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝cosπ2－αsin－π2－αsinπ＋αcosα＝－sinαcosα－sinαcosα＝1.k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)．仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.2.已知f(α)＝sin－αcosπ＋αcosπ2－αcosπ－αsin2π＋αtanπ＋α.(1)化简f(α)；(2)若角α的终边在第二象限且sinα＝35，求f(α)．[解](1)f(α)＝sin－αcosπ＋αcosπ2－αcosπ－αsin2π＋αtanπ＋α＝－sinα－cosαsinα－cosαsinαtanα＝－cosα.(2)由题意知cosα＝－1－sin2α＝－45，∴f(α)＝－cosα＝45.诱导公式的综合应用【例3】已知f(x)＝sinπ－xcosπ＋xcos3π2＋xcos7π2－xcos3π－xsinπ－xsin－π＋xsin5π2＋x.(1)化简f(x)；5(2)若x是第三象限角，且cosx－32π＝15，求f(x)的值；(3)求f－313π.[解](1)原式＝sinx－cosxcos3π2＋xcos3π＋π2－xcosπ－xsinxsin－π＋xsinπ2＋x＝sinx－cosx－cosπ2＋x－cosπ2－x－cosxsinx－sinxcosx＝sinx－cosxsinx－sinx－cosxsinx－sinxcosx＝tanx.(2)∵cosx－32π＝－sinx，∴sinx＝－15.∵x是第三象限角，∴cosx＝－1－sin2x＝－265.∴f(x)＝tanx＝sinxcosx＝126＝612.(3)f－313π＝tan－313π＝－tan10π＋π3＝－tanπ3＝－3.本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．3.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－3π2cos3π2－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．6[解]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，由α是第三象限角，得sinα＝－35，则cosα＝－45，∴sin－α－3π2cos3π2－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝sinπ2－αcosπ2＋αsinαcosα·tan2α＝cosα－sinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α＝－sin2αcos2α＝－916.1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．1.若sin(3π＋α)＝－12，则cos7π2－α等于()A．－12B．12C．32D．－32A[∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－12，∴sinα＝12.∴cos7π2－α＝cos3π2－α＝－sinα＝－12.]2.已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值为()A．－13B．13C．－223D．223A[cosπ4＋α＝cosα－π4＋π2＝－sinα－π4＝－13.]3.如果cosα＝15，且α是第四象限的角，，则cosα＋π2＝________.7265[∵cosα＝15，且α是第四象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－152＝－265.∴cosα＋π2＝－sinα＝265.]4．已知sinφ＝611，求cos11π2＋φ＋sin(3π－φ)的值．[解]∵sinφ＝611，∴cos11π2＋φ＝cos6π－π2＋φ＝cos－π2＋φ＝cosπ2－φ＝sinφ＝611，∴cos11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ)＝611＋sinφ＝1211.