（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题六 计数原理与古典概率 第2讲 古典概率与离散型随机变量的

-1-第2讲古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差古典概型中事件的概率[核心提炼]1．古典概型的概率P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.2．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)⇔事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)；②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(3)对立事件：A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件⇔事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．(4)对立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．[典型例题](1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130(2)(2019·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为()A.1720B.710C.58D.45【解析】(1)开机密码的所有可能结果有：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C.(2)由题设取三个球的所有可能有n＝C36＝6×5×43×2×1＝20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)共6种，-2-其概率P＝620＝310，所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－310＝710，应选答案B.【答案】(1)C(2)B解答古典概型、随机事件概率问题时的注意点(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)求随机事件概率的步骤第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，利用古典概型计算公式计算这些彼此互斥的事件的概率；第三步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．[注]当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．[对点训练]1．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.521.1021C.1121D．1解析：选B.从15个球中任取2个球共有C215种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有C110·C15＝50(种)，所以P＝50C215＝1021.2．将一枚硬币连掷5次，则至少出现一次正面向上的概率为________．解析：因为将一枚硬币连掷5次，没有出现正面向上的概率为125，所以至少出现一次正面向上的概率为1－125＝3132.答案：31323．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________．-3-解析：选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有C120C210种，选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有C220C110种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P＝C120C210＋C220C110C330＝2029.答案：2029离散型随机变量的分布列[核心提炼]离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝p1，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②i＝1npi＝1.[典型例题](1)(2019·宁波市十校联考模拟)将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，则1号盒子中小球的个数ξ的分布列为________．(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m则2X＋1的分布列为________，P(1X4)＝________．【解析】(1)将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中，每个小球有4种不同的放法，共有43＝64种；则1号盒子中小球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3；且P(ξ＝0)＝3343＝2764，-4-P(ξ＝1)＝C13·3243＝2764；P(ξ＝2)＝C23·343＝964；P(ξ＝3)＝C33·3043＝164；则随机变量ξ的分布列为：ξ0123P27642764964164(2)由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1.解得m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579从而2X＋1的分布列为：2X＋113579P0.20.10.10.30.3所以P(1X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.【答案】(1)ξ0123P27642764964164(2)2X＋1135790.7P0.20.10.10.30.3(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．-5-(2)离散型随机变量分布列性质的应用①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；②若X为随机变量，则aX＋b仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．[对点训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.51－2q13q则P(X∈Z)＝()A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q＋13q＝1，解得q＝0.3，所以P(X∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.2．两点分布列为X01Pc29c20则P(X＝1)＝________．解析：由分布列性质知c2＋9c20＝1，且c0.即20c2＋9c－20＝0,解得c＝0.8.所以P(X＝1)＝9c20＝920×0.8＝0.36.答案：0.36离散型随机变量的均值、方差[核心提炼]1．离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnD(X)＝i＝1n(x1－E(X))2pi-6-作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根D（X）为随机变量X的标准差2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)设0a1，随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0，1)内增大时，()A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大(2)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0p1p212，则()A．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)B．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)C．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)D．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)【解析】(1)由题意可得，E(X)＝13(a＋1)，所以D(X)＝（a＋1）227＋（1－2a）227＋（a－2）227＝6a2－6a＋627＝29a－122＋34，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.(2)根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为0p1p212，所以E(ξ1)E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在0，12上单调递增，所以f(p1)f(p2)，即D(ξ1)D(ξ2)，故选A.【答案】(1)D(2)A(1)求离散型随机变量X的均值与方差的方法①理解X的意义，写出X可能取的全部值；-7-②求X取每个值的概率；③写出X的分布列；④由均值和方差的定义求E(X)与D(X)．(2)离散型随机变量的均值与方差的逆用利用随机变量的取值概率和为1，即i＝1npi＝p1＋p2＋…＋pn＝1这个性质可列出关于未知量的一个方程，也可与由期望(或方差)得到的关于未知量的另一个方程联立成方程组，解方程组即可得到未知量的值．此时求得的参数应注意检验，以保证每个概率值均为非负数．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)设0p1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p212p2则当p在(0，1)内增大时，()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小解析：选D.由题可得E(ξ)＝12＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋14＝－p－122＋12，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.2．设口袋中有黑球、白球共9个．从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为23，则口袋中白球的个数为________．解析：设白球有m个，则取得白球的数学期望是C29－mC29×0＋C19－mC1mC29×1＋C2mC29×2＝23，即（9－m）m36＋m（m－1）236×2＝23，解得m＝3.答案：33．(2019·嘉兴市高考模拟)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pba212－a2-8-则E(ξ)的最小值为________，此时b＝________．解析：由题意可得：b＋a2＋12－a2＝1，即b＋a2－a2＝12，b∈[0，1]，a∈[－1，1]．E(ξ)＝0＋a2＋2(12－a2)＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，当且仅当a＝12时取等号，此时b＝12.答案：3412专题强化训练[基础达标]1．某同学求得一离散型随机变量的分布列为X012P0.20.33a－1则a的值为()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6解析：选C.由分布列性质得0.2＋0.3＋3a－1＝1，所以a＝0.5，故选C.2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取出白球的概率为()A.25B.415C.35D.115解析：选A.从15个球中任取一球有15种取法，取出白球有6种，所以取出白球的概率P＝615＝25.3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B.12C.13D.23解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝13，故应选C.4．(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝()X02aP16p13-9-A.2B．3C．4D．5解析：选C.由题意可得：16＋p＋13＝1，解得p＝12，因为E(X)＝2，所以0×16＋2×12＋a×13＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故选C.5．若随机变量X的分布列为，其中C为常数，则下列结论正确的是()A．E(X)＝D(X)＝0B．E(X)＝C，