2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质教学案 理 北师大

1第三节三角函数的图像与性质[最新考纲]1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RRxx≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，递减区间：2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z递增区间kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心对称中心2kπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Z对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z)周期性2π2ππ[常用结论]1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠kπ2＋π4，k∈ZD[由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z.]2．函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________．π[T＝2π2＝π.]3．y＝sin2x－π4的单调减区间是________．33π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)[由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.]4．y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是________．－32，3[当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即y＝3sin2x－π6的值域为－32，3.]考点1三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数求解．1.函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.xx≠π6B.xx≠－π12C.xx≠kπ＋π6k∈ZD.xx≠kπ2＋π6k∈ZD[由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6(k∈Z)，故选D.]42．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．－4[f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令cosx＝t，则t∈[－1,1]．f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2t＋342＋178，易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.]3．已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是________．π3，π[∵x∈－π3，a，∴x＋π6∈－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，∴由函数的图像(图略)知π2≤a＋π6≤7π6，∴π3≤a≤π.]4．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．－12－2，1[设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.]求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csinx＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．5考点2三角函数的单调性(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图像利用y＝sinx的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)(2)(2019·大连模拟)函数y＝12sinx＋32cosxx∈0，π2的单调递增区间是________．(1)B(2)0，π6[(1)由kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)，故选B.(2)∵y＝12sinx＋32cosx＝sinx＋π3，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)，又x∈0，π2，∴单调递增区间为0，π6.]本例(2)在整体求得函数y＝12sinx＋32cosx的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈0，π2上的区间．根据函数的单调性求参数(1)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()6A.(0,2]B.0，12C.12，34D.12，54(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π(1)D(2)C[(1)由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2，得2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω，k∈Z，因为f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，所以2kπω＋π4ω≤π2，2kπω＋5π4ω≥π，解得ω≥4k＋12，ω≤2k＋54.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为12，54.故选D.(2)f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，sinx－π4单调递增，－2sinx－π4单调递减，∴－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调递减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，∴a≤3π4，即amax＝3π4，故选C.]已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解7周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.32[由已知得T4＝π3，∴T＝4π3，∴ω＝2πT＝32.]2．函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为________．kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)[由已知，得函数为y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－π3的单调增区间即可．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．]考点3三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y＝sinx的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．(1)A(2)2或3[(1)对于选项A，作出y＝|cos2x|的部分图像，如图1所示，则f(x)在π4，π2上单调递增，且最小正周期T＝π2，故A正确．对于选项B，作出f(x)＝|sin2x|的部分图像，如图2所示，则f(x)在π4，π2上单8调递减，且最小正周期T＝π2，故B不正确．对于选项C，∵f(x)＝cos|x|＝cosx，∴最小正周期T＝2π，故C不正确．对于选项D，作出f(x)＝sin|x|的部分图像，如图3所示．显然f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.]图1图2图3(2)由题意得，1＜πk＜2，∴k＜π＜2k，即π2＜k＜π，又k∈Z，∴k＝2或3.]公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”(1)公式法求周期①正弦型函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期T＝2π|ω|；②余弦型函数f(x)＝Acos(ω