2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第7节 双曲线教学案 理 北师大版

1第七节双曲线[最新考纲]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.①当2a|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)性质实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，cc2＝a2＋b2(ca0，cb0)2的关系[常用结论]双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝1＋b2a2.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2A[由题意可知b＝2a，∴e＝ca＝1＋b2a2＝5，故选A.]2．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()3A．x2－y23＝1B．x23－y2＝1C．x2－y22＝1D．x24－y23＝1A[设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0).所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1.]3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)[因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]4．已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．6[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.]考点1双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．(2)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.(1)x2－y28＝1(x≤－1)(2)9(3)34[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，4所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图像，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.][母题探究]1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？[解]不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.2．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？[解]不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，5∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．1.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为()A．3B．16＋2C．12＋2D．24B[由于2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝24.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.]2．(2019·洛阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是_______．8[设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.]考点2双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．(2)待定系数法：即“先定位，后定量”．①焦点位置不确定时，设Ax2＋By2＝1(AB0)；6②与x2a2－y2b2＝1共渐近线的设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与x2a2－y2b2＝1共焦点的设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)．(1)(2019·大连模拟)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B．x23－y22＝1C.x24－y28＝1D．x2－y22＝1(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；②渐近线方程为y＝±12x，焦距为10；③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)；(1)D[(1)由题意可知|PF1|＝43c3，|PF2|＝23c3，2b＝22，由双曲线的定义可得43c3－23c3＝2a，即c＝3a.又b＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y22＝1，故选D.](2)[解]①设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.②设所求双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，当λ0时，双曲线标准方程为x24λ－y2λ＝1，∴c＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ0时，双曲线标准方程为y2－λ－x2－4λ＝1，7∴c＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.③设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn0)∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解之得m＝－175，n＝－125.∴双曲线方程为y225－x275＝1.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．1.(2019·荆州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A．x212－y2＝1B．x29－y23＝1C．x2－y23＝1D．x223－y232＝1C[由双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得2a2－3b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，∴双曲线C的标准方程是x2－y23＝1，故选C.]2．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，焦点坐标为(±5,0)，则双曲线的方程为__________．x216－y29＝1[将3x±4y＝0化为x4±y3＝0，设以x4±y3＝0为渐近线的双曲线方程为x216－y29＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即8双曲线的方程为x216－y29＝1.]考点3双曲线的几何性质双曲线的渐近线求双曲线的渐近线的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y＝±bax；或